![]() |
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ЦЭМИ РАН |
||
Интегралы Фейнмана являются фундаментальными величинами при построении квантово-полевых амплитуд в рамках теории возмущений, в частности, они возникают при вычислениях в рамках Стандартной Модели элементарных частиц. Данный проект посвящен разработке новых и развитию существующих методов для вычисления фейнмановских интегралов: метода интегрирования по частям, метода дифференциальных уравнений, алгоритмов FIRE и FIESTA, метода разложения по областям, а также применение этих методов и соответствующих алгоритмов в задачах физики элементарных частиц и квантовой теории поля.
Feynman integrals are fundamental quantities used to describe quantum-field amplitudes. They appear in calculations in terms of the Standard Model of elemanary particles. The current project is devoted to the development of new and existing methods of evaluation of Feynman Integrals: integration by parts, method of differential equations, algorithms FIRE and FIESTA, expansion by regions, and also to the application of those methods and algorithms in problems required in elementary particle physics and quantum-field theory.
В ходе выполнения проекта будет проведено дальнейшее развитие программ для вычисления фейнмановских интегралов. В частности, программа FIRE будет переписана в том виде, чтобы позволить использование более одного компьютера (отказ от использования общей памяти при редукции в различных секторах). Планируется изменить программу FIESTA с тем, чтобы использовать язык assembler для повышения скорости вычисления интегралов. Развитие этих и других названных выше программ должно позволить осуществить запланированные вычисления: - Аналитическое вычисление планарных трёхпетлевых вершинных фейнмановских диаграмм на пороге q^2=4m^2. Такие диаграммы возникают, например при вычислении коэффициентов согласования для векторного тока в КХД и нерелятивистской КХД. До сих пор для диаграмм такого типа имеются лишь численные результаты (между прочим, полученные с помощью кода FIESTA). - Аналитическое вычисление планарных трёхпетлевых вершинных фейнмановских диаграмм при произвольном значении переданного импульса q и применение этих результатов для вычисления массивных трёхпетлевых форм-факторов в КХД. Как и их безмассовые аналоги, вычисление которых было проведено в работе с участием трёх авторов проекта, они являются фундаментальными объектами КХД. В частности, они представляют собой важный ингридиент для вычисления сечений рассеяния на пороге. - Вычисление вкладов в аномальный магнитный момент мюона в четырехпетлевом приближении. В соавторстве со Штайнхаузером и Марквардом мы вычислили некоторые вклады аналитически. Предполагается вычислить (по возможности аналитически) все необходимые вклады в четырёхпетлевом приближении и провести проверку полученных другими методами численных результатов группы Киношиты. - Вычисление четырёхпетлевых пропагаторных интегралов в внешним импульсом p^2=m^2, дающих вклад в аномальный магнитный момент мюона в четырехпетлевом приближении, с помощью метода дифференциальных уравнений в рамках стратегии Хенна. Для таких интегралов возникает существенное усложнение, провляющееся в присутствии эллиптических функций в результатах. Предполагается обобщить стратегию Хенна в этой ситуации, т.е. когда так называемая каноническая форма дифференциальных уравнений оказывается невозможной. - Аналитическое вычисление четырёхпетлевых безмассовых форм-факторов и вкладов в четырехпетлевые аномальные размерности в КХД и максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса. Первый результат в этой области был только что получен с нашим участием в работе и связан с вычислением планарных вкладов в пределе большого числа цветов. Предполагается получить новые результаты для форм-факторов, описывающих разнообразные процессы. Для этого потребуется аналитическое вычисление и непланарных четрёхпетлевых трёхточечных диаграмм. В частности, предполагается проверка гипотезы, высказанной Бехером и Нойбертом, о равенстве нулю некоторой аномальной размерности. Поскольку вычисление непланарных диаграмм существенно сложнее, чем планарных, для решения этих задач потребуется дальнейшая оптимизация кода FIRE и дальнейшее разваитие метода дифференциальных уравнений. - Вычисление вакуумной энергии в QCD в четырех- и пяти-петлевых приближениях. Эта величина полностью описывает смешивание между КХД-оператором G^2 =G_{\mu\nu}^a*G_{\mu\nu}^a и связанными с ним операторами размерности четыре m_q \bar{\psi}\psi и m_q^4. Это смешивание имеет важные применения в КХД правилах сумм. Оно однозначно определяет чисто квантовохромодинамический вклад в перенормировку четверной скалярной вершины в Стандартной модели (пропорциональной h^4*\sum_{i \le 0} (alpha_s/Pi)^i).
Значительная часть научной деятельности участников проекта и практически все работы последних лет посвящены развитию методов вычисления многопетлевых фенймановских интегралов и (или) применению в физике элементарных частиц и квантовой теории поля. Участники проекта активно работают в этой области, а их опубликованные работы хорошо известны. В частности, ими получены следующие результаты. - С помощью метода, основанного на представлении Меллина - Барнса, вычислена лидируюшая по цвету планарная трехпетлевая четырехточечная амплитуда в N=4 суперсимметричной теории Янга - Миллса в рамках размерной регуляризации в разложении Лорана по epsilon=(4-d)/2 вплоть до конечной части [ Z. Bern, L.J. Dixon and V.A. Smirnov, Phys. Rev. D 72 (2005) 085001]. На основании полученных результатов предложено общее для всех порядков теории возмущений экспоненциальное представление для n-точечных амплитуд с максимально нарушенной спиральностью, которое в литературе принято называть BDS Ansatz. - Реализована на языках Mathematica и C++ новая версия алгоритма FIRE (Feynman Integral REduction), позволяющего алгоритмически решать соотношения интегрирования по частям для заданного семейства фейнмановских интегралов, т.е. выражать заданный фейнмановский интеграл как линейную комбинацию некоторых мастер-интегралов. Этот алгоритм неоднократно применялся в работах участников проекта, а также во многих других работах. - Реализована новая параллельная версия алгоритма FIESTA (Feynman Integrals Evaluation by SecTor decompostition Approach), позволяющего численно определять коэффициенты разложения размерно регуляризованных фейнмановских интегралов по epsilon. Этот алгоритм неоднократно применялся в работах участников проекта, а также во многих других работах. Полученные коллективом результаты результаты являются новыми, а методы - оригинальными, что подтверждается высокой цитируемостью публикуемых статей.
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. | Алгоритмическое вычисление фейнмановских интегралов |
Результаты этапа: а) Был получено серьезное продвижение в состоянии программы FIRE. В частности, программа получила довольно сильный уровень независимости от сбоев операционной системы, поскольку имеет множество промежуточных точек сохранения. Это реализовано путем изменения архитектуры программы, в результате чего задания в различных секторах редукции выполняются различными процессами, работающими со своими базами данных. Такой подход также позволяет увеличить возможности по параллелизации задачи редукции. Кроме того, произведена существенная оптимизация алгоритма редукции. b) В рамках квантовой хромодинамики (КХД) вычислен трёхпетлевой вклад в кварк-антикварковые формфаторы F1 и F2 в пределе большого числа цветов Nc [1]. В этом пределе появляются только планарные диаграммы. Для соответствующего семейства фейнмановских интегралов получены аналитические результаты с помощью метода дифференциальных уравнений. С использованием перехода к так называемой канонической форме дифференциальных уравнений их решение существенно упростилось и результаты оказались естественно выраженными через гончаровские полилогарифмы. Для аналитических результатов для формфакторов получены разложения в важных кинематических режимах: пределах большой и малой массы, а также на пороге s=4m^2. Полученные результаты для мастер-интегралов, а также результаты в вышеперечисленных пределах содержат гончаровские полилогарифмы G(a1,…,aw;1), параметры в которых берутся из алфавита, состоящего из семи букв: корней шестой степени из единицы и нуля. Чтобы существенно упростить результаты была решена математическая задача о построении базиса в пространстве этих констант [2]. Построены базисы в случае веса w<=6, причём результаты для w=5 и 6 являются новыми. Построены и сделаны публичными таблицы для сведения любого гончаровского полилогарифма из рассматриваемого множества к элементам базиса. с) Аналитически вычислены планарные четырёхпетлевые безмассовые форм-факторы в КХД в пределе большого числа цветов [3]. Это - первый пример аналитических вычислений такого рода на четырёхпетлевом уровне. Из вклада полюсной части по epsilon=(4-d)/2 в формфакторы получены результаты для соответствующих четырехпетлевых аномальных размерностей. Часть этих результатов была подтверждена группой Вермасерена, которая применяла независимый подход. В данной задаче появляются только планарные графы. Соответствующие мастер-интегралы вычислены в рамках метода дифференциальных уравнений с использованием канонического базиса. В рамках КХД аналитически вычислены четырёхпетлевые вклады, обусловленные двумя фермионными петлями, в фотонный и хиггсовый формфакторы [4]. Существенная сложность здесь состоит в присутствии непланарных диаграмм. Наше вычисление представляет собой первый пример, когда соответствующие семейства мастер-интегралов, связанных с непланарными графами, вычислены полностью. Для этого снова применялся метод дифференциальных уравнений и их каноническая форма. Представлены аналитические результаты для мастер-интегралов из двух соответствующих непланарных семейств. d) В процессе выполнения проекта выяснилось, что уже имеющимися средствами целесообразно в первую очередь (с целью удержания приоритета) выполнить близкий по содержанию расчет, сдвигая таким образом первоначальнай план с 2017 на 2018 год. В результате была оптимизирована реализация алгоритма вычисления фейнмановских интегралов путем решения соотношений интегрирования по частям в пределе большой размерности пространства-времени d, в качестве приложения для произвольной калибровочной группы вычислена 5-петлевая аномальная размерность фермионного поля. | ||
2 | 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. | Алгоритмическое вычисление фейнмановских интегралов |
Результаты этапа: Для решения дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют фейнмановские интегралы, предложен алгоритм, основанный на разностных уравнениях для коэффициентов в разложениях в ряды в окрестности особых точек и сшивании разложений в некоторых оптимально подобранных промежуточных точках. Представлена компьютерная реализация данного алгоритма в случае четырёхпетлевых диаграмм типа sunset. Для мастер-интегралов на пороге получены высокоточные значения (до 20000 знаков) а затем аналитические результаты восстановлены с помощью алгоритма PSLQ. Вычислена четырёхпетлевая перенормировка волновой функции на массовой оболочке в КХД и КЭД. Получены численные результаты для всех коэффициентов при SU(Nc)-цветных факторов. Получен также результат для HQET-аномальной размерности поля тяжёлого кварка. Вычислены полные вклады трёхпетлевых поправок, обусловленных лёгкими фермионами, в форм-факторы в случае векторного тока. Эти поправки калибровочно инвариантны и состоят как из планарных, так и непланарных вкладов. При вычислении использовалась редукция к мастер-интегралам с помощью кода FIRE, а мастер-интегралы были вычислены с помощью метода дифференциальных уравнений, в рамках которого применялся переход к так называемому каноническому базису. Выполнены аналитические вычисления аномальной размерности вакуумной энергии в КХД до 5-петлевого уровня, что является последней недостающей частью, необходимой для 5-петлевой перенормировки в КХД. Исследована зависимость результатов многопетлевых вычислений, выражающихся через безмассовые 5-петлевые пропагаторные интегралы, от различных трансцендентных чисел. | ||
3 | 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. | Алгоритмическое вычисление фейнмановских интегралов |
Результаты этапа: В 2019 году была разработана и опубликована новая версия программы FIRE, осуществляющая редукцию интегралов Фейнмана, в том числе, и с использованием модулярной арифметики. Данный подход основывается на том, что если зафиксировать конкретные значения инвариантов и производить вычисления по модулю большого простого числа p, то данные вычисления можно производить на несколько порядков быстрее, чем в исходной задаче. Если же произвести такие вычисления для достаточного количества различных инвариантов и простых чисел, то можно восстановить требуемые функции. В результате задача хорошо поддается массированной параллелизации с использованием суперкомпьютеров. Далее были получены и конкретные физические результаты, некоторые из них, с использованием программы FIRE. Например, были аналитически вычислены четырёхпетлевые КХД-поправки с цветной структурой (dabcdF)^2 в безмассовый несинглетный кварковый формфактор. Задача сводится к вычислению нетривиальных непланарных диаграмм. Они вычисляются с помощью метода дифференциальных уравнений. Вычислены также соответствующие аномальные размерности. Результаты представлены в виде эпсилон-разложений вплоть до веса 8. Еще один результат - описано аналитическое вычисление семейства двухпетлевых непланарных мастер-интегралов, которые дают вклад в двухпетлевые амплитуды рождения хиггса и одной струи, с полной зависимостью от масс. Эти интегралы также связаны с поправками в инклюзивное хиггс-рождение. Фейнмановские интегралы вычислены с помощью дифференциальных уравнений. В большинстве секторов удалось построить канонический базис мастер-интегралов. Решения вплоть до веса 2 выражены через логарифмы и дилогарифмы, а для весов 3 и 4 - через однопараметрические интегральные представления. Результаты для "эллиптических" секторов представлены через степенные разложения с большой численной точностью. Показано, что метод разложения в степенные ряды можно использовать для получения численных результатов для всех мастер-интегралов во всех кинематических областях. Далее, вычислен QCD/HQET-коэффициент сшивания для поля тяжёлого кварка в четырёхпетлевом приближении. Поскольку он должен быть конечен, это требование позволяет получить аналитические результаты для некоторых слагаемых в константе перенормировки поля тяжёлого кварка на массой оболочке, которые до сих пор были известны только численно. С помощью перехода к соответствующему результату в QED в рамках четырёхпетлевого приближения получено соотношение между электронным полем и полем Блоха-Нордсика. |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".