|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ЦЭМИ РАН |
||
Итерационные методы решения обратных задач для гиперболических уравненийНИР
Iterative methods for solving inverse problems for hyperbolic equations
- Руководитель НИР: Денисов А.М.
- Ответственный исполнитель: Туйкина С.Р.
- Участники НИР: Баев А.В., Гаврилов С.В., Головина С.Г., Захаров Е.В., Соловьева С.И.
- Подразделение: Кафедра математической физики
- Срок исполнения: 1 января 2017 г. - 28 декабря 2019 г.
- Номер договора (контракта, соглашения): 17-01-00525
- Номер ЦИТИС: АААА-А17-117041250009-8
- Тип: Фундаментальная
- Приоритетное направление научных исследований: Дифференциальные уравнения и математическая физика
- ПН России: Информационно-телекоммуникационные системы
-
Рубрики ГРНТИ:
- 27.35.16 Математические модели акустики
- 27.41.19 Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений
-
Ключевые слова:
гиперболические уравнения и системы, итерационные численные методы, методы регуляризации
hyperbolic equations and systems, regularization methods, iterative numerical methods -
Описание:
Цель данного проекта состоит в разработке итерационных численных методов решения обратных задач для гиперболических уравнений, программной реализации предложенных алгоритмов и их применении для решения обратных задач, возникающих в акустике, теории упругости, сейсморазведке, фильтрации и теплопереносе.
-
Abstract:
The purpose of this project is to develop iterative numerical methods for solving inverse problems for hyperbolic equations, implementing the proposed algorithms programmatically and applying them to solve inverse problems arising in acoustics, elasticity theory, seismic exploration, filtration and heat transfer.
-
Планируемые результаты:
Будут изучены обратные задачи для уравнения акустики в среде с переменной плотностью и скоростью звука, состоящие в определении локализованных неоднородностей по рассеянному полю, измеренному в ограниченной области. Будет осуществлена программная реализация разработанных итерационных алгоритмов, проведено тестирование разработанных методов для неоднородностей достаточно простой геометрической формы. Будет проведен анализ точности определения границ локализованных неоднородностей в зависимости от их расположения, а также количества источников и приемников в пространстве. Будут поставлены и исследованы обратные задачи диссипативного рассеяния, состоящие в одновременном определении в гиперболических уравнениях и системах коэффициентов, характеризующих как импедансные, так и диссипативные свойства слоистой акустической среды. Будут разработаны итерационные методы численного решения обратных задач, основанные на разделении искомых коэффициентов по гладкости, и путем приведения результатов решения обратных задач для продольных и поперечных упругих волн к общей независимой переменной. Будет осуществлена программная реализация итерационных алгоритмов решения обратных задач рассеяния, проведены вычислительные эксперименты с целью анализа точности решения обратных коэффициентных задач для гиперболических уравнений и выработки рекомендаций по решению прикладных задач акустики и сейсморазведки. Будут изучены обратные задачи для квазилинейных гиперболических уравнений и систем с данными на характеристиках, состоящие в определении зависящих от решения коэффициентов уравнения по дополнительной информации о решении задачи, являющейся функцией времени. Для данного класса обратных задач будут разработаны итерационные численные методы, основанные на выводе нелинейных операторных уравнений для неизвестных коэффициентов и построении регуляризованных итерационных методов для решения этих уравнений. Будут исследованы обратные задачи для гиперболических уравнений с малым параметром при старшей производной. Будут разработаны итерационные методы решения обратных задач, состоящих в определении начальных условий, источников или коэффициентов уравнения, зависящих от пространственных переменных, по дополнительной информации, представляющей собой функцию времени.
-
Научный задел:
На кафедре математической физики факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова в течение многих лет проводятся исследования по обратным задачам математической физики и численным методам их решения. Они многократно поддерживались РФФИ и другими научными фондами и программами. Из полученных за последние годы новых результатов, связанных с исследованием обратных задач и разработкой численных методов их решения, укажем следующие. Разработаны новые методы численного решения обратных нестационарных задач рассеяния для гиперболических уравнений и систем, возникающих при просвечивании (рассеяние назад и вперед) акустических и упругих слоистых сред, отражающие и диссипативные свойства которых зависят от пространственных переменных. Предложены новые постановки и построены алгоритмы решения обратных динамических задач сейсмики, позволяющие по данным рассеяния продольных и поперечных волн определять физические параметры слоистых сред, указывающие в рамках геофизической разведки на присутствие жидкой фазы (нефти). Исследованы новые обратные задачи для квазилинейных гиперболических уравнений и систем, в том числе с нелокальными краевыми условиями, и предложены численные методы их решения. Разработаны и реализованы новые итерационные численные методы решения обратных задач математической физики, основанные на их редукции к нелинейным операторным уравнениям и последующем использовании методов нелинейного анализа или применении градиентных методов и техники сопряженных краевых задач. Изучена асимптотика решений обратных задач определения источника для гиперболических уравнений с малым параметром при старшей производной ( гиперболических моделей теплопроводности) доказана их сходимость к решению обратной задачи определения источника для уравнения теплопроводности.
- Добавил в систему: Туйкина Светлана Рафгатовна
Источник финансирования НИР
| грант РФФИ |
Этапы НИР
| # | Сроки | Название |
| 1 | 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. | Разработка итерационных методов решения обратных задач для гиперболических уравнений |
| Результаты этапа: В 2017 году в процессе выполнения проекта получены следующие научные результаты. Поставлена и изучена обратная задача определения неизвестной поверхности в акустической неоднородной среде по данным акустического зондирования в случае одного источника. Выведена система нелинейных интегральных уравнений для неизвестной поверхности и вторичного поля. Разработан итерационный метод определения неизвестной поверхности в акустически неоднородной среде в случае одного источника. Итерационный метод программно реализован и проведены вычислительные эксперименты с целью анализа его эффективности. Постановлена задача определения функционально зависимых коэффициентов гиперболической системы и волнового уравнения акустики по полю рассеянных волн для математической модели слоистой диссипативной среды. Исследованы вопросы существования решения обратной задачи. Доказана единственность восстановления акустического импеданса и коэффициента поглощения в классе слоисто-однородных сред. Предложен и исследован на устойчивость метод решения обратной задачи рассеяния для волнового уравнения акустики, основанный на итерационном процессе последовательного разделения искомых коэффициентов по гладкости. Разработан и обоснован итерационный алгоритм решения обратной задачи рассеяния в линеаризованной постановке для неоднородной диссипативной акустической среды в рамках метода малого параметра. В рамках борновского приближения обратной задачи рассеяния разработан итерационный метод численного решения обратной задачи, позволяющий одновременно восстановить акустический импеданс и коэффициент поглощения в классе слоисто-однородных сред. Проведены вычислительные эксперименты, в рамках которых проверена возможность установления функциональной зависимости найденных параметров среды. Поставлена и изучена обратная задача для квазилинейной гиперболической системы, описывающей процесс динамики сорбции. Разработан итерационный метод одновременного определения изотермы сорбции и кинетического коэффициента по измерениям концентрации вещества в фиксированных точках пространства. Проведена программная реализация итерационного метода и тестовые расчеты. Поставлена и исследована обратная коэффициентная задача для гиперболического уравнения, описывающего математическую модель фильтрационного процесса, в котором поглощающие свойства вещества зависят от пространственной переменной. Выведено нелинейное операторное уравнение для неизвестного коэффициента системы и на его основе разработан и обоснован итерационный метод для нахождения этого коэффициента. Поставлены обратные задачи для гиперболического уравнения с малым параметром при старшей производной. Выведены интегральные уравнение для решения задач определения неизвестного начального условия по дополнительной информации о решении, являющейся функцией времени. Разработаны и программно реализованы численные методы для решения задач определения неизвестного начального условия. | ||
| 2 | 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. | Разработка итерационных методов решения обратных задач для гиперболических уравнений |
| Результаты этапа: Постановлена и исследована обратная задача рассеяния для волнового уравнения акустики в слоистых средах с использованием преобразования Радона. Изучена единственность и устойчивость восстановления коэффициентов, характеризующих плотность и акустический импеданс неоднородной слоистой среды. Разработан и обоснован итерационный метод решения обратной задачи рассеяния для волнового уравнения акустики на основе преобразования Радона. Создан и исследован итерационный метод численного решения обратной задачи рассеяния для волнового уравнения акустики, основанный на решении нелинейного интегрофункционального уравнения второго рода. Разработан алгоритм, позволяющий одновременно восстановить акустический импеданс и коэффициент поглощения в классе слоисто-однородных диссипативных сред. Проведены вычислительные эксперименты с целью изучения возможности восстановления функциональной зависимости найденных параметров среды. Поставлена и изучена обратная задача для квазилинейной гиперболической системы, описывающей математическую модель динамики сорбции с внутридиффузионной кинетикой и эффектом разбухания сорбента. Разработан итерационный численный метод одновременного определения изотермы сорбции и коэффициента пористости по измерениям концентрации вещества в фиксированных точках пространства. Проведена программная реализация этого метода и выполнены вычислительные экспериментов с целью исследования его эффективности. Исследованы обратные задачи для гиперболического уравнения с малым параметром при старшей производной, состоящие в нахождении функции, определяющей источник, по дополнительной информации о решении задачи Коши. Проведена редукция обратных задач к системам интегральных уравнений с целью доказательства существования и единственности их решения. Разработаны и программно реализованы численные методы решения обратных задач для гиперболического уравнения с малым параметром при старшей производной и проведен численный анализ возможности использования разработанных методов для решения задачи определения источника в уравнении теплопроводности. Изучена обратная задача для квазилинейного уравнения гиперболического типа, состоящая в определении двух коэффициентов уравнения по дополнительной информации о решении задачи с данными на характеристиках. Доказана теорема единственности решения обратной задачи и предложен итерационный метод ее решения. Исследована обратная задачи для уравнения акустики в трехмерной среде неоднородной структуры, состоящая в определении границ нескольких неоднородностей одинаковой формы, облучаемых точечными источниками, по полю измеряемому в области приема, не содержащей источников. Выведены нелинейные интегральные уравнения для решения обратной задачи. Разработан итерационный метод решения задачи определения границ нескольких неоднородностей, облучаемых точечными источниками. Проведена программная реализация метода и выполнены вычислительные эксперименты. | ||
| 3 | 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. | Разработка итерационных методов решения обратных задач для гиперболических уравнений |
| Результаты этапа: В процессе выполнения проекта получены следующие научные результаты. Поставлена и исследована обратная задача рассеяния для волнового уравнения акустики в слоистых средах с использованием преобразования Радона. Разработан и обоснован итерационный метод решения обратной задачи рассеяния для волнового уравнения акустики в различных классах слоистых двумерных сред на основе преобразования Радона. Разработан алгоритм, позволяющий одновременно восстановить акустический импеданс и коэффициент поглощения. Исследованы вопросы устойчивости и сходимости итерационного алгоритма. Проведены вычислительные эксперименты с целью изучения возможности восстановления функциональной зависимости параметров среды. Поставлена и исследована обратная задачи рассеяния волн в однородной нестационарной одномерной среде для системы уравнений акустики на полу прямой. Предложен и исследован итерационный метод численного решения обратной задачи рассеяния для системы уравнения акустики для нестационарной среды. Создан алгоритм, позволяющий восстановить коэффициент, характеризующий плотность акустической среды. Проведены вычислительные эксперименты с целью изучения возможности однозначного и устойчивого восстановления переменной во времени плотности среды. Поставлена и изучена обратная задача для квазилинейного гиперболического уравнения, состоящая в определении зависящего от решения коэффициента уравнения. Разработан итерационный метод решения обратной задачи и обоснована его сходимость. Изучена обратная задача для квазилинейного уравнения гиперболического типа, состоящая в определении двух коэффициентов уравнения по дополнительной информации о решении задачи с данными на характеристиках. Доказана единственность решения обратной задачи, предложен и обоснован итерационный метод ее решения. Изучены обратные задачи для гиперболического уравнения с малым параметром при старшей производной, состоящие в определении начального условия, или источника, или коэффициента уравнения по дополнительной информации о решении уравнения . Предложены и обоснованы итерационные численные методы для решения обратных задач для гиперболических уравнений с малым параметром. Итерационные методы программно реализованы, их эффективность подтверждена рядом вычислительных экспериментов. Изучена возможность использования итерационных методов решения обратных задач для гиперболических уравнений с малым параметром для решения обратных задач для уравнения теплопроводности. Поставлены и изучены обратные задачи для квазилинейных гиперболических систем, описывающих математические модели процесса динамики сорбции в случае внутридиффузионной кинетики, окислительно-восстановительной реакции, эффекта разбухания сорбента. Разработаны итерационные численные методы определения параметров математических моделей. Методы программно реализованы и проведены вычислительные эксперименты с целью анализа их эффективности. Исследованы обратные задачи для уравнения акустики в трехмерной среде неоднородной структуры, состоящие в определении границ нескольких неоднородностей , облучаемых точечными источниками, по полю измеряемому в области приема, не содержащей источников. Выведены нелинейные интегральные уравнения для решения обратных задач. Разработаны итерационные методы определения границ нескольких неоднородностей, облучаемых точечными источниками. Проведена программная реализация метода и выполнены вычислительные эксперименты с целью оптимизации расположения источников и приемников. | ||
Прикрепленные к НИР результаты
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".