Аппроксимация полулинейных дробных эволюционных уравнений в окрестности гиперболической стационарной точкиНИР

Approximation of semilinear fractional evolution equations in a neighborhood of a hyperbolic equilibrium point

Источник финансирования НИР

грант РНФ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Аппроксимация полулинейных дробных эволюционных уравнений в окрестности гиперболической стационарной точки
Результаты этапа: Мы рассматриваем сходимость эффективного численного метода для уравнения субдиффузии \cite{pi98} с дробной производной Капуто по времени. Исследуются неявная разностная схема и явная разностная схема с использованием метода проекции в пространстве и метода конечных разностей, предложенного Аширалиевым во времени. Сочетая метод функционального анализа и технику численного анализа мы используем идею расслоения во временном направлении, чтобы получить, что локальная скорость сходимости равна $O (\tau^\alpha)$. Затем доказaно, что неявный и явный численные методы сходятся со скоростью $O (\tau^\alpha)$ во времени. Более того, установлено, что все разностные схемы, получаемые дискретизацией функции под интегралом в определении дробной производной (т.е. все подходы Бажлековой, Подлубного, Аширалыева, Лиу и т.д.), приводят к схемам с одинаковой скоростью сходимости и устойчивостью. Наконец, приведен численный эксперимент для подтверждения скорости сходимости $\alpha$-го порядка. Книга \cite{pi99} посвящена некоторым разделам теории аппроксимации абстрактных дифференциальных уравнений, а именно аппроксимации аттракторов в случае гиперболических точек равновесия, затенению и аппроксимации дробно-временных полулинейных задач. Мы обсуждаем и исследуем такие понятия, как абстрактные параболические уравнения, общие схемы аппроксимации, компактная сходимость, аттракторы, неустойчивые и устойчивые многообразия, полунепрерывность сверху и снизу аттракторов, принцип аффинности, принцип компактной аппроксимации, полулинейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, периодические решения полулинейные уравнения, устойчивость решения по Ляпунову, гиперболические точки равновесия, полупотоки, вращение векторных полей, индекс решения, затенение, аналитические $C_0$-полугруппы, банаховы пространства, полудискретизация, дискретизация в пространстве и во времени, дробные уравнения, дробные степени операторов, уплотняющие операторы и т. д. Главы по аппроксимации дробных уравнений содержат плеяду новейших достижений в области аппроксимации решений в окрестности гиперболической стационарной точки. А именно, во-первых, выяснилось, что в отличие от динамических систем с целой производной определение гиперболической стационарной точки принципиально меняется. Пусть наш оператор $A$ порождает аналитическую полугруппу и имеет компактную резольвенту. Тогда оператор $A + f'(u^*)$ также будет порождать аналитическую полугруппу и иметь компактную резольвенту, а значит, в правой полуплоскости будет располагаться конечное число собственных значений. Однако, в отличие от случая целых производных, спектр, лежащий в правой полуплоскости, разбивается на две группы. Собственные значения первой группы имеют собственные векторы, на которых $S_\alpha(t)$ убывают (пусть и не экспоненциально), а другая часть ведет себя как и в целочисленном случае. Во-вторых, такая картина меняет наши представления о затенении в окрестности гиперболической стационарной точки. Мы намерены в 2024 году полностью исследовать этот вопрос. В тоже время, для дробных уравнений нам удалось получить неравенство коэрцитивности в пространстве $C_0^\alpha([0,T];E).$ В пространстве $L^p([0,T];E)$ неравенство коэрцитивности получили наши конкуренты из Китая для случая UMD пространства $E$.
2 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Аппроксимация полулинейных дробных эволюционных уравнений в окрестности гиперболической стационарной точки
Результаты этапа: \begin{abstract} В 2024, согласно плану работ, мы изучали поведение траекторий абстрактных параболических задач $$\mathbf{D}_{t}^{\alpha} u(t) = Au(t) + f(u(t)), u(0)=u^0, 0 < \alpha < 1,$$ в окрестности гиперболической стационарной точки, где $\mathbf{D}_{t}^{\alpha}$ -- производная по Капуто---Джрба\-шяну. Хорошо известно, что для динамических систем с целой производной фазовое пространство в окрестности гиперболической стационарной точки расщепляется таким образом, что данная начальная задача сводится к начальным задачам с экспоненциально убывающими решениями в противоположных направлениях. В случае с дробной производной ситуация драматически меняется. Во-первых, отсутствует экспоненциальное убывание. Во-вторых, спектр оператора $A + f'(u^*)$ допускает разложение, отличное от классической картины. Тем не менее, удается доказать аналоги результатов по затенению. Основные условия наших результатов выполняются, в частности, для операторов с компактной резольвентой и могут быть проверены для метода конечных элементов и разностных методов. \end{abstract} \begin{keywords} дробные уравнения, полулинейные задачи Коши в банаховом пространстве, гиперболическая стационарная точка, компактная сходимость резольвент, общая аппроксимационная схема, затенение. \end{keywords} %\markright{Затенение для дробных уравнений} \footnotetext[0]{Работа выполнена при поддержке РНФ (грант \No~23-21-00005).} \section{Общая картина}\label{s1} \subsection{Дихотомические оценки}\label{s1.1} Пусть $B(E)$ обозначает банахову алгебру всех ограниченных линейных операторов на комплексном банаховом пространстве $E$. Множество всех линейных замкнутых плотно определенных операторов в $E$ будем обозначать $\CC (E).$ Для $ B \in \CC (E)$ обозначим через $\sigma(B)$ спектр, через $\rho (B)$ -- его резольвентное множество, а через $R(B)$ -- область значений оператора $B$. Мы напомним как возникают задачи дихотомии для уравнений с целой производной на примере полулинейного уравнения в банаховом пространстве $E^\beta$ \begin{equation}\label{mainprobl} \begin{array}{l} u'(t) = Au(t) + f(u(t)), \, t \ge 0, \\ u(0)=u^0 \in E^\beta, \end{array} \end{equation} где $f(\cdot) :E^\beta\ \subseteq E \to E, \, 0 \le \beta <1,$ предполагается непрерывной, ограниченной и непрерывно по Фреше дифференцируемой функцией. Более точно, предположим, что выполнено условие: (F1) \quad Для любого $\epsilon > 0$ найдется $\delta >0 $ такое, что $\| f'(w) - f'(z) \|_{B(E^\beta,E)} \le \epsilon$ при $\| w - z\|_{E^\beta} \le \delta$ для всех $ w, z \in {\mathcal U}_{E^\beta}(u^*;\rho),$ где $u^*$ -- гиперболическая стационарная точка задачи (\ref{mainprobl}). Здесь ${\mathcal U}_{E^\beta}(0;\rho)$ -- шар в пространстве $E^\beta$ с центром в $0$ и радиусом $\rho >0.$ Всюду далее $A:D(A)\subseteq E\to E$ -- замкнутый оператор, такой что \begin{equation} \label{parabest} \| (\lambda I - A)^{-1} \|_{B(E)} \le { M \over 1 + |\lambda|} \, \mbox{ для всех } {\rm Re} \lambda \ge 0. %\label{posres} \end{equation} При условии (\ref{parabest}) спектр оператора $A$ лежит слева $ \sup \{{\rm Re}\lambda: \lambda \in \sigma(A)\} < 0$ так, что можно определить дробные степени $(-A)^\beta,$ $\beta \in \RR^+ =[0,\infty),$ (см. \cite{mHenry,m137a}) оператора $A$ и пространства $E^\beta,$ т.е. $E^\beta:=D((-A)^\beta)$ наделенная нормой графика $ \|x\|_{E^\beta} = \|(-A)^\beta x\|_E$. Делая замену переменных $v(\cdot)= u(\cdot) - u^* $ в задаче (\ref{mainprobl}), где $u^*$ -- гиперболическая стационарная точка, мы приходим к задаче %\BE \label{locequat} $$ \begin{array}{l} v'(t) = (A + f'(u^*)) v(t)+f(v(t)+u^*)-f(u^*)-f'(u^*)v(t),\\ v(0)=u^0-u^*=v^0. \end{array} $$ %\EE Эта задача может быть записана в виде: \begin{equation} v'(t) = A_{u^*} v(t) + F_{u^*} (v(t)), \, v(0) = v^0, \, t \ge 0, \label{okolos} \end{equation} где $A_{u^*} = A + f'(u^*), F_{u^*}(v(t))= f(v(t)+u^*)-f(u^*)-f'(u^*)v(t). $ Заметим, что из условия (F1) следует, что функция $ F_{u^*} (v(t)) = f(v(t) + u^*)-f(u^*)-f'(u^*) v(t)$ при малых $\| v^0 \|_{E^\beta}$ имеет порядок $o(\|v(t)\|_{E^\beta}).$ Поскольку $ f'(u^*)\in B(E^\beta,E), \, 0 \le \beta <1,$ то оператор $ A_{u^*} = A + f'(u^*)$ является генератором аналитической $C_0$-полугруппы \cite{kniga2}. Рассмотрим случай, когда спектр оператора $ A_{u^*}$ расщепляется на две части $\sigma^+$ и $\sigma^-.$ \par Предположим, что часть $\sigma^+$ спектра оператора $A + f'(u^*),$ которая находится справа от мнимой оси, состоит из конечного числа собственных значений конечной корневой кратности. Такое предположение выполняется, например, для операторов $A,$ у которых резольвента компактна. Условия при которых оператор $A_{u^*}$ имеет свойство дихотомии изучались, например, в \cite{KaashLunel,Vu1,Vu2}. В случае гиперболической стационарной точки $u^*$ оператор $A_{u^*}$ не имеет спектра на мнимой оси $i \RR.$ Пусть $U(\sigma^+)\subset \{\lambda\in \CC : {\rm Re} \lambda > 0 \}$ является открытой связанной окрестностью множества $\sigma^+$ с границей $\partial U(\sigma^+).$ Разложим $E^\beta,$ используя проектор Рисса \begin{equation}\label{Dprojection} P(\sigma^+):=P(\sigma^+,A_{u^*}):= {1 \over 2 \pi i} \int_{\partial U(\sigma^+)} \Big(\zeta I - A_{u^*}\Big)^{-1} d \zeta, \end{equation} определенный по $\sigma^+$. %There are some positive constants $M_1,\beta > 0,$ %because of analycity of $C_0$-semigroup $\exp(tA_{u^*}),$ such that В соответсвии с этим определением и аналитичностью $C_0$-полугруппы $e^{t A_{u^*}}, t \in \RR_+,$ существуют такие положительные константы $M_1,\gamma > 0,$ что \begin{equation}\label{trinerav} \left\{ \begin{array}{l} \| e^{t A_{u^*} }z\|_{E^\beta} \le M_1e^{- \gamma t}\|z\|_{E^\beta}, \quad t\ge 0,\\ \| e^{t A_{u^*}} w\|_{E^\beta}\le M_1e^{\gamma t}\|w \|_{E^\beta}, \quad t\le 0, \end{array} \right. \end{equation} для всех $w \in P(\sigma^+)E^\beta$ и $z\in (I-P(\sigma^+))E^\beta.$ Поскольку $F_{u^*} (v(t)) = o(\|v(t)\|_{E^\beta})$ при малых $v(\cdot)$ оценки $(\ref{trinerav})$ являются основными при рассмотрении поведения решения задачи $(\ref{mainprobl})$ в окрестности гиперболической стационарной точки $u^*.$ Если элемент $v^0$ близок к $0,$ т.е., скажем, $v^0 \in {\mathcal U}_{E^\beta}(0;\rho)$ при малом $\rho >0,$ тогда обобщенное решение $v(t;v^0)$ задачи (\ref{okolos}) будет некоторое время оставаться в шаре ${\mathcal U}_{E^\beta}(0;\rho).$ Мы обозначим максимальное время нахождения решения $v(t;v^0)$ в шаре ${\mathcal U}_{E^\beta}(0;\rho)$ через $T = T(v^0) = \sup \, \{ \, t \ge 0 : \|v(t;v^0)\|_{E^\beta} \le \rho \mbox{ или } v(t;v^0) \in {\mathcal U}_{E^\beta}(0;\rho) \}.$ Возвращаясь к решению задачи $(\ref{okolos})$ для любых $v^0, v^T \in {\mathcal U}_{E^\beta} (0;\rho),$ мы рассмотрим граничную задачу \begin{equation} \label{kraevaint} \left\{ \begin{array}{l} v'(t) = A_{u^*} v(t) + F_{u^*} (v(t)), \, 0 \le t \le T, \\ (I-P(\sigma^+)) v(0) = (I-P(\sigma^+)) v^0, \, P(\sigma^+)v(T) = P(\sigma^+) v^{T}. \end{array} \right. \end{equation} %where $ v^0, v^{T} \in \UU_{E^\beta} (0;\rho).$ Обобщенное решение задачи (\ref{kraevaint}), как было показано в \cite{BePi}, удовлетворяет интегральному уравнению \begin{equation} v(t) = e^{(t - T )A_{u^*}} P(\sigma^+)v^{T} \, + \, e^{tA_{u^*}} (I-P(\sigma^+))v^0 \, + \label{kraevarint} \end{equation} $$ + \int_0^t e^{(t-s)A_{u^*}} (I-P(\sigma^+))F_{u^*}(v(s)) ds - \int_{t}^{T} e^{(t-s)A_{u^*}} P(\sigma^+) F_{u^*}(v(s)) ds, \, 0 \le t \le T. $$ \begin{propos} \label{Prop1.1} $\cite{BePi}$ Пусть $0 < T \le \infty$ и выполняется условие $(F1)$. Тогда существует $\rho >0$ такое что для любых $v^0, v^{T} \in {\mathcal U} _{E^\beta}(0;\rho)$ уравнение $(\ref{kraevarint})$ имеет единственное решение $v(\cdot) \in C([0,T];{\mathcal U} _{E^\beta}(0;\rho)).$ Если $T = \infty,$ то $\|v(t)\|_{E^\beta} \to 0$ при $t \to \infty.$ \end{propos} Итак, если мы дискретизируем задачу (\ref{okolos}) по пространственным или временной переменным, то удается доказать, что оценки типа (\ref{trinerav}) для аппроксимирующих решений сохраняются. Если оценки типа (\ref{trinerav}) выполняются равномерно по параметру дискретизации, то эти оценки будут выполняться для аппроксимирующих решений задачи (\ref{kraevarint}) и можно доказать, что имеет место затенение. Затенение рассматривалось, например, в работах \cite{BePi,beyn1,LarSer0,LarSer,lars1,Pilyu}. Нашей целью является рассмотрение затенения (shadowing) для дробных уравнений. \subsection{Подготовительные сведения}\label{s1.2} Рассмотрим корректно поставленную задачу Коши \begin{equation}\label{oszadCan} \mathbf{D}_{t}^{\alpha} u(t) = Au(t)+f(u(t)), \quad 0< t \leq T; \quad u(0)=u^0, \end{equation} где $\mathbf{D}_{t}^{\alpha}$ "--- производная Капуто---Джрбашяна, оператор $A$ порождает аналитическое и компактное $\alpha$--разрешающее семейство $S_\alpha(\cdot,A)$, а функция $f(\cdot)$ является достаточно гладкой (см. условие (F1)). Дробный интеграл порядка $\alpha>0$ определяется как $$ \left( J^\alpha q\right) (t):=(g_{\alpha}\ast q)(t), \quad t>0, $$ где $g_{\alpha}(t):= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)},& t>0, \\ 0, & t\leq0, \end{array}\right. $ а $\Gamma(\alpha)$ есть гамма-функция. Производная Римана\-Лиувилля порядка $0< \alpha \le 1$ определяется как $$ \left( D_{t}^\alpha q\right) (t)=\left( \frac{d}{dt}\right) (J^{1-\alpha }q)(t), \quad t > 0, $$ а дробная производная Капуто---Джрбашяна порядка $0< \alpha \le 1 $ определяется как $$ (\mathbf{D}_{t}^{\alpha} q)(t)=\left( D_{t}^\alpha q\right) (t)- \frac{q(0)}{\Gamma (1-\alpha)}t^{-\alpha}, \quad t>0. $$ Решение задачи Коши (\ref{oszadCan}) с $f \equiv 0$ дается $\alpha$-разрешающим семейством операторов $E_\alpha (\cdot)$, которое является обобщением функции Миттаг-Леффлера, и обычно его записывают $u(t)= E_\alpha (t^\alpha A) u^0.$ Мы обозначим это семейство операторов через $ S_\alpha(t,A) \equiv E_\alpha (t^\alpha A). $ Решение задачи (\ref{oszadCan}) с неоднородным уравнением записывается в виде \begin{equation} \label{vtorpred} u(t)= S_{\alpha}(t,A)u^0 + \int_0^t P_\alpha(t-s,A) f(u(s)) ds, \end{equation} где $$ (\lambda^\alpha I - A)^{-1} x = \int_0^\infty e^{-\lambda t} P_\alpha (t,A) x dt, \quad \lambda^{\alpha - 1}(\lambda^\alpha I - A)^{-1} x = \int_0^\infty e^{-\lambda t} S_\alpha(t,A) x dt $$ для любых $Re \, \lambda > \omega, x \in E.$ \begin{lemma}[см.~\cite{C.Li}]\label{lemma::1} Пусть $A$ "--- генератор аналитического $\alpha$"=разрешающего семейства $S_\alpha(t,A)$ и $0<\alpha<1$. Справедливы следующие утверждения: \begin{enumerate}%[{\rm(1)}] \item % $(1)$ $P_{\alpha}(t,A)\in B(E)$ и $$ \big\|P_{\alpha}(t,A)\big\|\leq Me^{\omega t}(1+t^{\alpha-1}) \quad \text{для любого $t>0$;} $$ \item % $(2)$ $P_{\alpha}(t,A)x \in D(A)$ для любого $x\in E$ и $$ \big\|AP_{\alpha}(t,A)\big\|\leq Me^{\omega t}(1+t^{-1}) \quad \text{для любого $t>0$;} $$ \item % $(3)$ $S'_{\alpha}(t,A)=AP_{\alpha}(t,A)$ для любого $t>0$, $R(P_{\alpha}^{(l)}(t,A))\subseteq D(A)$ для любого целого $l\geq0$ и $$ \big\|A^kP_{\alpha}^{(l)}(t,A)\big\| \leq Me^{\omega t}\big(1+t^{-l-1-\alpha(k-1)}\big) \quad \text{для любого $t>0$,} $$ где $k=0,1$. \end{enumerate} \end{lemma} Общая аппроксимационная схема (см. \cite{80a:65115}) может быть описана следующим образом. Пусть $E_n$ и $E$ --- банаховы пространства, а $ \{ p_n \} $ --- последовательность линейных ограниченных операторов $p_n: E \to E_n, p_n \in B(E,E_n), n \in \NN =\{ 1,2, \cdots \},$ обладающих следующим свойством: \begin{equation} \| p_n x \|_{E_n} \to \| x \|_E \quad \mbox{при}\quad n \to \infty \mbox{ для любого } x \in E. \label{sogsv} \end{equation} \definition \label{def1} Последовательность элементов $\{ x_n \}, x_n \in E_n, n\in \NN,$ называется ${\cal P} $--сходящейся к $x \in E $, если $\| x_n - p_n x \|_{E_n} \to 0$ при $n \to \infty$; это записывается как $x_n \dto x .$ \definition \label{def2} Последовательность ограниченных линейных операторов $B_n \in B(E_n), n \in \NN,$ называется ${\cal P \cal P}$--сходящейся к ограниченному оператору $B \in B(E)$, если для любого $x\in E $ и для любой последовательности $\{x_n\}, x_n \in E_n, n \in \NN ,$ такой, что $x_n \dto x$, имеем $B_n x_n \dto Bx.$ Это записывается в виде $B_n \dPPto B.$ \remark \label{zanedo} Если положить $E_n=E$ и $p_n = I$ для каждого $n \in \NN $, где $I$ --- тождественный оператор в $E$, то определение $\ref{def2}$ приводит к традиционной поточечной $($сильной$)$ сходимости ограниченных линейных операторов $B_n \to B.$ На практике банаховы пространства $E_n$, как правило, но не обязательно, конечномерны, хотя, вообще говоря, в случае неограниченного оператора $A$ имеем: $\dim E_n \to \infty$ и $\| A_n \|_{B(E_n)} \to \infty $ при $n \to \infty.$ Обозначим $\Sigma_\theta = \{ \lambda \in \CC : arg(\lambda) < \theta \}.$ \theorem \cite{pp2} Предположим, что $ 0 < \alpha \le 2$ и операторы $A$, $A_n$ порождают экспоненциально ограниченные аналитические $\alpha$ --разрешающие семейства $S_\alpha(\cdot,A)$, $S_\alpha(\cdot,A_n)$ в банаховых пространствах $E$, $E_n$, соответственно. Следующие условия (A) и (B) эквивалентны условию (C). (A) (согласованность): существует такое $\lambda\in \rho( A)\cap\bigcap_n\rho(A_n)$, что резольвенты сходятся: $$ \big(\lambda I_{n}-A_{n}\big)^{-1} \dPPto (\lambda I-A)^{-1}; $$ (B) (устойчивость): найдутся такие константы $M \ge 1$, $0<\varphi \le \pi/2$ и $\omega$, не зависящие от~$n$, что сектор $\omega+\Sigma_{\varphi+\pi/2}$ содержится в~$\rho(A_n)$ и \begin{equation}\label{sr} \sup_{\lambda\in\omega+\Sigma_{\beta+\pi/2}} \Big\|\lambda^{\alpha-1}\big(\lambda^\alpha I_n - A_n\big)^{-1}\Big\|_{B(E_n)} \leq \frac{M}{|\lambda-\omega|} \end{equation} для любых $n \in \NN $ и $0<\beta<\varphi$; (C) (сходимость): для некоторого конечного $\omega_1>0$ имеем $$ \sup_{z\in\Sigma_\beta} e^{-\omega_1 \Re z} \Big\|S_\alpha(z,A_n)x_n -p_n S_\alpha(z,A)x\Big\|_{E_n}\rightarrow 0 \quad \text{при $n\rightarrow \infty$} $$ если ${x}_n\dto{x}$ при всех ${x}_n\in E_n$, ${x}\in E$ и любого $0<\beta< \varphi$. \rm \bigskip При полудискретизации естественно предполагать, что условия (A) и ($B$) выполняются. \section{Формулировка основных результатов}\label{s2} \subsection{}\label{s2.1} Следуя конструкциям раздела \ref{s1.1} задаче Коши (\ref{oszadCan}) сопоставим граничную задачу \begin{equation} \label{kraevadr} \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{D}_{t}^{\alpha} v(t) = A_{u^*} v(t) + F_{u^*} (v(t)), \, 0 \le t \le T, \\ (I-P(\sigma^+)) v(0) = (I-P(\sigma^+)) v^0, \, P(\sigma^+)v(T) = P(\sigma^+) v^{T}. \end{array} \right. \end{equation} Здесь $u^*$ -- cтационарная точка, т.е. \begin{equation} \label{stpoint} Au^* + f(u^*) =0. \end{equation} В случае $T=\infty$ второе граничное условие исчезает. Обобщенное решение задачи (\ref{kraevadr}), в силу равенства \cite[(8.2.16)]{Rogozin}) $$ u(T) = S_\alpha( T - t, A_{u^*}) u(t) + \int_{t}^T P_\alpha(T-s,A_{u^*}) F_{u^*}(v(s)) ds, $$ удовлетворяет интегральному уравнению \begin{equation} v(t) = \, S_\alpha(t,A_{u^*}) (I-P(\sigma^+))v^0 + \int_0^t P_\alpha(t-s,A_{u^*} ) (I-P(\sigma^+)) F_{u^*}(v(s)) ds \, + \label{kraevar} \end{equation} $$ S_\alpha(T-t,A_{u^*})^{-1} \bigg( P(\sigma^+)v^T \, - \int_t^T P_\alpha(T-s,A_{u^*} ) P(\sigma^+) F_{u^*}(v(s)) ds\bigg), \, 0 \le t \le T. $$ В последнем уравнении оператор $ S_\alpha(T-t,A_{u^*})^{-1} \equiv E_\alpha ((t - \tau)^\alpha A_{u^*}^+)^{-1}$ на конечномерном подпространстве $P(\sigma^+)E^\beta$ корректно определен \cite{Kokur}, поскольку все корни функции Миттаг-Леффлера имеют аргумент в интервале $(\alpha \pi / 2, \alpha \pi ),$ см. \cite{Pop}. В силу теоремы об отображении спектра нули не появятся в спектре оператора $S_\alpha(T-t,A_{u^*})P(\sigma^+),$ если спектр оператора $A_{u^*}P(\sigma^+)$ принадлежит сектору от $- \alpha \pi / 2$ до $\alpha \pi / 2.$ Заметим, что множество $\sigma^-,$ т.е. подмножество спектра $ \sigma(A_{u^*}) \nsubseteq \Sigma_{\alpha \pi/2}, $ может содержать несколько точек $\lambda \in \CC$ с $\Re \lambda >0.$ В силу условия (\ref{parabest}) оператор $A_{u^*} $ также порождает аналитическую полугруппу и поэтому число таких точек конечно. Обозначим это множество через $\Sigma_\alpha ^+ . $ \begin{definition} \label{def3} Обозначим через $A_{u^*}^+ $ сужение оператора $A_{u^*} $ на подпространство $P(\sigma^+)E^\beta$, а через $A_{u^*}^- $ -- сужение оператора $A_{u^*} $ на подпространство $(I-P(\sigma^+))E^\beta.$ \end{definition} \begin{theorem} \label{tfirst} Пусть оператор $A,$ имеющий компактную резольвенту, и функция $f(\cdot)$ удовлетворяют условиям $(\ref{parabest})$ и $(F1)$. Тогда найдется такое $\hat{\rho}>0,$ что для любого $0<\hat{\rho}_2\le \hat{\rho}$ можно указать $0 < \hat{\rho}_1 \le \hat{\rho}_2$ со свойством, что уравнение (\ref{kraevar}) имеет единственное решение $v(\cdot)= v(v^0,v^T,\cdot) \in C([0,T];{\mathcal U}_{E^\beta}(0;\hat{\rho}_2))$ для всех $v^0,v^T \in {\mathcal U}_{E^{\beta}}(0, \hat{\rho}_1)$ и всех $0<T\le \infty$. Если $T = \infty,$ то $\|v(t)\|_{E^\beta} \to 0$ при $t \to \infty.$ \end{theorem} В случае компактных операторов естественно рассмотреть аппроксимацию, сохраняющую указанное свойство. \begin{definition} \label{defcom} Последовательность операторов $\{B_n\},$ $B_n : E_n \to E_n,$ $n \in \NN,$ называется \emph{компактно сходящейся} к оператору $B : E \to E$, если $B_n \dPPto B$ и выполняется следующее условие : $$\| x_n \|_{E_n}=O(1) \Longrightarrow \{ B_n x_n \} \mbox{ является } \mathcal{P} \mbox{-компактной.} $$ \end{definition} \begin{definition} \label{def3.2} Областью \emph{ компактной сходимости резольвент } $\Delta_{cc},$ где $A_n\in {\mathcal C}(E_n)$ и $A \in {\mathcal C}(E)$ называется множество всех $\lambda\in \rho (A)$ таких, что $(\lambda I_n-A_n)^{-1} \dPPto (\lambda I-A)^{-1}$ компактно. \end{definition} \begin{definition} Последовательность линейных замкнутых операторов $A_n \in {\mathcal C}(E_n), n \in \NN ,$ называется согласованной с замкнутым линейным оператором $A \in {\mathcal C} (E)$ если для любого $x \in D(A)$ найдется такая последовательность элементов $\{ x_n \}, x_n \in D(A_n) \subseteq E_n, n \in \NN ,$ что $x_n \dto x$ и $A_n x_n \dto Ax.$ Пишут $ (A_n,A) $ -- согласованы. \end{definition} Рассмотрим в банаховых пространствах $E_n^\beta$ задачи Коши \begin{equation}\label{Eqnn} \begin{array}{l} \mathbf{D}_{t}^{\alpha} u_n(t) = A_n u_n(t) + f_n(u_n(t)), \, t \ge 0,\\ u_n(0)=u_n^0 \in E_n^\beta, \end{array} \end{equation} где $u_n^0 \adto u^0,$ операторы $(A_n,A)$ -- согласованы, в функции $f_n(\cdot): E_n^\beta \to E_n$ глобально ограничены и глобально Липшицевы и глобально Липшицево непрерывны равномерно по $n \in \NN, $ и непрерывно дифференцируемы по Фреше. В случак $\Delta_{cc} \neq \emptyset$ операторы $A_n^{-1}f_n(\cdot) \dPPto A^{-1}f(\cdot)$ сходятся компактно. Из \cite{80a:65115} следует, что $1 = \gamma (I+A^{-1}f'(u^*) ; \partial \Omega) = \gamma (I_n + A_n^{-1}f_n'(u_n^*) ; \partial \Omega_n) $ для любой $u^* \in E $ и, значит, уравнения $ u_n^*= - A_n^{-1}f_n(u_n^*) $ имеют такие решения, что $u_n^* \dto u^*$. Здесь $\gamma (I+A^{-1}f'(u^*) ; \partial \Omega)$ -- вращение векторного поля, порожденного оператором $ A^{-1}f'(u^*) $ на шаре $\Omega.$ Предположим, что задача (\ref{stpoint}) имеет гиперболическую стационарную точку $u^*$ и выполняются условия $(F2)$,$(F3)$. Тогда существуют такие $n^*\in \NN$ и $\rho^* > 0,$ что уравнения $ A_n u_n + f_n(u_n)=0 $ имеют единственные решения $u_n^* \in D(A_n) \cap {\mathcal U}_{E_n^{\beta}}(p_n^{\beta}u^*,\rho^*)$ для каждого $n \ge n^*.$ Более того, $u_n^*$ является гиперболической и удовлетворяет $ \|u_n^* - p_n^\beta u^*\|_{E_n^\beta}\to 0 \quad \mbox{ при }\ n \to \infty. $ Определим операторы ${\mathcal M} (w) = I w + A^{-1} f(w), \, {\mathcal M}_n (w_n) = I_n w_n + A_n^{-1} f_n(w_n).$ Производная по Фреше ${\mathcal M}'(w) = I + A^{-1}f'(w)$ --- это оператор действующий из $E^\beta$ в $E^\beta,$ поскольку $A^{-1}$ отображает $E$ в $D(A) \subset E^\beta.$ Из условия (F3) мы получаем ${\mathcal M}_n(v_n) \adPPto {\mathcal M}(v) $ при $v_n \adto v $ и $ \| {\mathcal M}_n'(w_n + p_n^\beta u^* ) - {\mathcal M}_n'(p_n^\beta u^*) \|_{E_n^\beta} \le \rho, $ если $\| w_n \|_{E_n^\beta} \le \delta$ с $\rho = \rho(\delta) \to 0 $ при $\delta \to 0$ равномерно по $n.$ Из условия (F2) следует, что ${\mathcal M}_n'(p_n u^*) \adPPto {\mathcal M}'(u^*)$ собственно, операторы $ {\mathcal M}_n'(p_n^\beta u^*)$ Фредгольмовы с нулевым индексом и ${\mathcal N} (A+ f'(u^*)) = \{0\}.$ По теореме 2 из \cite{80a:65115} следует сходимость $u_n^* \adto u^*.$ Итак, рассмотрим задачи Коши (\ref{Eqnn}) в окрестности гиперболических стационарных точек $u_n^*.$ В этом случае \begin{equation} \mathbf{D}_{t}^{\alpha} u_n(t) = A_{u_n^*,n} v_n(t) + F_{u_n^*,n} (v_n(t)), \, v_n(0) = v_n^0,\, t \ge 0, \label{okolosn} \end{equation} где $A_{u_n^*,n} = A_n + f_n'(u^*_n), \, F_{u_n^*,n}(v_n(t))= f_n(v_n(t)+u_n^*)-f_n(u_n^*)-f_n'(u_n^*)v_n(t). $ Рассмотрим теперь гиперболическую стационарную точку $u^*$ задачи (\ref{mainprobl}) и гиперболические стационарные точки $u_n^* \adto u^*$ задач (\ref{Eqnn}), и, кроме того, предположим, что выполняется сдедующее условие: \bigskip (F2) \quad Для любого $\epsilon > 0$ найдется такое $\delta >0, $ что $\| f_n'(w_n) - f_n'(z_n) \|_{B(E_n^\beta,E_n)} \le \epsilon$ при $\| w_n - z_n\|_{E_n^\beta} \le \delta$ для всех $ w_n, z_n \in {\mathcal U}_{E_n^\beta}(u_n^*;\delta),$ где $u_n^*$ -- гиперболические стационарные точки задачи (\ref{Eqnn}). (F3) \quad The mappings $f_n$ are continuously differentiable in ${\mathcal U}_{E_n^{\alpha}}(p_n^{\alpha}u^*,\rho)$ and whenever $x_n \in {\mathcal U}_{E_n^{\alpha}}(p_n^{\alpha}u^*,\rho)$ and $x_n \adto x$ then $ f_n(x_n) \dto f(x)$ and $f_n'(x_n) \daPPto f'(x)$. \remark \label{zam3.3} Как результат мы получаем $\| F_{u_n^*,n}'(w_n) \| \le c_{\rho} \|w_n \|_{E_n^\beta}$ с константами $c_{\rho} \to 0$ при $\rho \to 0$. Здесь $\rho > 0$ являются радиусами шаров ${\mathcal U}_{E_n^\beta}(0;\rho)$ для которых найдется такое $\delta>0,$ что \[ \sup_{n \in \NN}\sup_{\|w_n\|_{E^\beta_n}\le \delta}\|f'_n(w_n+ p^\beta_n u^*)- f'_n(p^\beta_n u^*)\|_{B(E_n^\beta, E_n)}\le \rho. \] \begin{theorem} \label{Theorem1} Пусть оператор $A$ порождает экспонентно убывающую аналитическую $C_0$-полугруппу и $0 \le \beta < \gamma< 1$. Пусть резольвенты операторов $A_n, A$ компактны, $\Delta_{cc}\neq \emptyset$ и выполнены условия $(B)$, $(F1),(F2),(F3)$. Тогда найдется такое $\rho_0>0$, что для любого $\varepsilon_0 >0$ существует число $n_0=n_0(\varepsilon_0)\in {\mathbb N}$ такое что для любого обобщенного решения $u(t)$ задачи (\ref{mainprobl}), удовлетворяющего $u(t)\in {\mathcal U}_{E\gamma}(u^*,\rho_0), 0\le t \le T$ при некотором $0 < T \le \infty$ найдутся такие начальные условия $u_n^0 \in E_n^{\beta}, n \ge n_0,$ что обобщенные решения $u_n(t;u_n^0)$ задач (\ref{Eqnn}) существуют на $[0,T]$ и удовлетворяют \begin{equation} \label{mainest} \sup_{0\le t \le T}\| p_n^{\beta} u(t)- u_n(t;u_n^0) \|_{E_n^{\beta}} \le \varepsilon_0 \quad \forall n \ge n_0(\varepsilon). \end{equation} \end{theorem} \begin{theorem} \label{Theorem2} Пусть выполнены условия теоремы \ref{Theorem1}. Тогда найдется такое $\rho_0>0$ что для любого $\varepsilon_0 >0$ существует число $n_0=n_0(\varepsilon_0)\in {\mathbb N}$ такое что для любого обобщенного решения $u_n(t)$, $n \ge n_0$ задачи (\ref{Eqnn}), удовлетворяющего $u_n(t)\in {\mathcal U}_{E_n^\gamma}(u_n^*,\rho_0), 0\le t \le T$ для некоторого $0 < T \le \infty$ существуют такие начальные условия $u^{n,0} \in E^{\beta}, n \ge n_0,$ что обобщенные решения $u(t;u^{n,0})$ задачи (\ref{mainprobl}) существуют на $[0,T]$ и удовлетворяют \begin{equation} \label{mainest2} \sup_{0\le t \le T}\| u_n(t)- p_n^{\beta} u(t;u^{n,0}) \|_{E_n^{\beta}} \le \varepsilon_0 \quad \forall n \ge n_0(\varepsilon_0). \end{equation} \end{theorem} \subsection{Линеаризированная задача}\label{s2.2} Кроме того, рассматривалась дискретизация дробного уравнения (\ref{}) на неравномерной сетке $\{ t_n \} = T \left( \frac{n}{N} \right)^r$. Прежде всего, получена двухиндексовая лемма Гронуолла. Рассмотрим стандартное рекурентное уравнение, возникающее при простейшей дискретизации, \begin{equation}\label{error_not_equation2} V_n \leq \mathcal{C}_n + \sum_{k = 1}^{n - 1}{ \mathcal{D}_{n, k} V_k } \end{equation} \textbf{Лемма 1.} Пусть для неотрицательных последовательностей $\{ x_n \}$, $\{ b_{n, k} \}$ и $\{ c_n \}$ ($1 \leq k < n \leq N$) выполняется неравенство: \begin{equation*} x_n \leq c_n + \sum_{k = 1}^{n - 1}{ b_{n, k} x_k }, \qquad x_1 \leq c_1. \end{equation*} Тогда \begin{equation*} x_n \leq \frac{ \max_{1 \leq n \leq N} c_n \max_{1 \leq k < n} b_{n, k} }{ \min_{1 \leq n \leq N} \left \{ \max_{1 \leq k < n} b_{n, k} \right \} } \exp \left( \sum_{k = 1}^{n}{ \max_{1 \leq i < k} b_{k, i} } \right). \end{equation*} Компьютерное моделирование показало, что имеют место оценки скорости сходимости \begin{equation*} \|u^N_m-u_m(T)\|_{E_m} \leq \begin{Bmatrix} C_{30}N^{-r},&1<r<2-\alpha\\ C_{30}N^{-r}\ln N,&r=2-\alpha\\ C_{30}N^{-(2-\alpha)},&r>2-\alpha \end{Bmatrix},\quad m\in\mathbb{N}. \end{equation*} в предположении на резольвенту (\ref{}). По результатам этой работы готовится в печать статья Пискарева С. и Ярыгина М. \bigskip Дискретное неравенство коэрцитивности исследовалось Мокиным А. и Пискаревым С. Рассматривается однородная неявная разностная схема с дробной производной: \begin{equation} \Delta_{t_k}^{\alpha}U(t_k) = AU(t_k),\ k=1,2,\ldots,N,\ t_k = k\tau, \label{Eq_01} \end{equation} где $U(t_k)$, $k=0,1,2,\ldots,N$ -- элемент банахова пространства $E$, начальное значение $U(t_0)$ известно. Разностный оператор дробной производной \[ \displaystyle\Delta_{t_k}^{\alpha}U(t_k) = \frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\sum_{j=1}^{k}{\big(t^{1-\alpha}_j-t^{1-\alpha}_{j-1}\big) \frac{U(t_{k+1-j})-U(t_{k-j})}{\tau}}. \] Требуется проверить справедливость неравенства \begin{equation} \|AU\|_{C_0^{\alpha}}\leqslant M\|AU(t_0)\|_E, \label{Eq_02} \end{equation} где \[ \|y\|_{C_0^{\alpha}} = \max_{1\leqslant k\leqslant N}\|y(t_k)\|_E + \max_{1\leqslant k<k+r\leqslant N}\|y_{k+r}-y_{k}\|_E(k/r)^{\alpha},\quad 0<\alpha<1. \] В настоящей работе получено соотношение для приращения $\delta_k=U(t_{k+1})-U(t_k)$, $k=1,2,\ldots,N-1$ решения разностной схемы, а именно: \begin{equation} \delta U_k = -\tau^{1+\alpha}\sum_{j=1}^{k}\big(t^{1-\alpha}\big)_{\bar{t}t,j} {R(\delta U_{k-j})},\ k=1,2,\ldots,N-1, \label{Eq_05} \end{equation} где оператор $R=\big(I-\tau^{\alpha}\Gamma(2-\alpha)A\big)^{-1}$. В точке $t_0=0$ приращение \begin{equation} \delta U_0 = (R-I)U_0 = \tau^{\alpha}\Gamma(2-\alpha)R(AU_0). \label{Eq_06} \end{equation} Пусть \[ d_k=\tau^{1+\alpha}\big(t^{1-\alpha}\big)_{\bar{t}t,k},\quad k=1,2,\ldots \] Доказано равенство \begin{equation} \delta U_m = \tau^{\alpha}\Gamma(2-\alpha)\Big[\sum_{p=0}^{m-1}C^{(m)}_pR^{m+1-p}\Big](AU_0),\quad m=1,2,\ldots,N-1, \label{Eq_10} \end{equation} в котором коэффициенты $C^{(m)}_p$ определены соотношениями \begin{equation} C^{(m)}_p = \sum_{s=1}^{p+1}(-d_s)C^{(m-s)}_{p+1-s},\ p=0,1,\ldots,m-2,\quad C^{(m)}_{m-1}=-d_m. \label{Eq_11} \end{equation} Получены следующие свойства коэффициентов $C^{(m)}_p$:\\ 1. Числа $C^{(m)}_k$, $k=0,1,\ldots,m-1$ положительны при всех $m=1,2,\ldots,N-1$.\\ 2. Суммы $S^{(m)}$ коэффициентов $C^{(m)}_k$, $k=0,1,\ldots,m-1$ удовлетворяют рекуррентному соотношению $$ S^{(m)} = -d_m+\sum_{p=1}^{m-1}(-d_{m-p})S^{(p)},\quad m=1,2,\ldots,N-1. $$ 3. Сумма $S^{(m)}\leqslant1$, $m=0,1,\ldots,N-1$. Из равенства~(\ref{Eq_10}) и ранее известного соотношения $$ \|k\tau^{\alpha} AR^{k}\|_{E\rightarrow E}\leqslant M,\quad k=1,2,\ldots,N $$ вытекает неравенство \begin{equation} \|A(\delta U_m)\|_E \leqslant M_1\Big[\sum_{p=0}^{m-1}\frac{C^{(m)}_p}{m+1-p}\Big]\|AU_0\|_E,\quad m=1,2,\ldots,N-1, \label{Eq_111} \end{equation} Численно проверено неравенство \[ \sum_{p=0}^{m-1}\frac{C^{(m)}_p}{m+1-p}\leqslant\frac{C}{m},\quad m=1,2,\ldots,N, \] с константой $C<1$, не зависящей от выбора $\tau>0$. Из последнего неравенства и соотношения~(\ref{Eq_111}) следует, что \begin{equation} m^{\alpha}\|AU_{m+1}-AU_{m}\|_E\leqslant M_2\|AU(t_0)\|_E,\quad m=1,2,\ldots(N-1) \label{Eq_03} \end{equation} с константой $M_2$, не зависящей от выбора $\alpha\in(0,1)$. Тем самым, численно проверено необходимое условие выполнения неравенства~(\ref{Eq_02}). По результатам этой работы готовится в печать статья Пискарева С. и Мокина А. \subsection{Публикации и доклады}\label{s2.3} В целом за отчетный период 2023--2024 гг. по гранту опубликованы следующие работы: 1. S. Piskarev. Optimal convergence for fractional equations. Abstract of An international conference Voronezh Winter Mathematical School "Contemporary methods of functions theory and related problems", January 27 -- February 1, 2023, Voronezh, Russia) p. 309 -- 310. 2. Piskarev S. The order of convergence for fractional equations. Abstracts of International Conference One-Parameter Semigroups of Operators (OPSO) 2023, Nizhnii Novgorod (online), Nizhnii Novgorod, ( 27 February -- 3 March 2023), p. 18-18. 3. Piskarev S. Discrete maximal regularity for fractional equations. Abstracts of 10th International Congress on Fundamental and Applied Sciences 2023 (ICFAS2023), Istambul, Turkey, June 6 -- June 8, 2023, p. 84--84. 4. S. Piskarev. Convergence rate estimates and coercivity for fractional equations Abstract of An international conference Voronezh Winter Mathematical School "Dedicated to the memory of V.P. Maslov", January 26 -- January 30, 2024, Voronezh, Russia, p. 200--201. 5. S. Piskarev. Approximation of fractional equations. An international XXXVII conference Modern methods of the theory of boundary value problems, "Pontryaginskie chtenija - XXXV", April 26 -- April 30, 2024, Voronezh, Russia, p. 263--264. 6. S. Piskarev. Shodowing for fractional equations. An INTERNATIONAL CONFERENCE ONE-PARAMETER SEMIGROUPS OF OPERATORS 2024: STOCHASTICS {\&} DYNAMICS, JUNE 3--7, 2024, Qu\'{e}bec, Canada, p. 1--2. 7. S. Piskarev. Fractional equations and their approximations. Abstract of THE INTERNATIONAL CONFERENCE ON DIFFERENTIAL EQUATIONS AND DYNAMICAL SYSTEMS 2024. Suzdal, Vladimir region, Russia, June 28 -- July 3, 2024 pp. 234-235. 8. S. Piskarev. FRACTIONAL EQUATIONS AND NUMERICAL ANALYSIS. Proceedings of 11-th international workshop " Analytic methords of analysis and differential equations" (AMADE-2024) , Minsk, Belarus, 17-21 September 2024, pp. 52---53. 9. Li Liu, Fan Zhenbin, Li Gang, Piskarev Sergey. Convergence Rates of a Finite Difference Method for the Fractional Subdiffusion Equations. In: Differential Equations, Mathematical Modeling and Computational Algorithms, серия V. Vasilyev (ed.), Springer Proceedings in Mathematics {\&} Statistics, Springer Cham Switzerland, vol. 423, pp. 89-113, 2023. 10. S. Piskarev., A. Ovchinnikov. Attractors, shadowing and approximation of abstract semilinear differential equations. World Scientific, 2023. 204 pp. ISBN: 978-981-124-892-4 \bigskip Сделаны доклады на международных конференциях: \bigskip 1. S. Piskarev. Optimal convergence for fractional equations. An international conference Voronezh Winter Mathematical School "Contemporary methods of functions theory and related problems", January 27 -- February 1, 2023, Voronezh, Russia) . 2. Piskarev S. The order of convergence for fractional equations. International Conference One-Parameter Semigroups of Operators (OPSO) 2023, Nizhnii Novgorod (online), Nizhnii Novgorod, ( 27 February -- 3 March 2023). 3. Piskarev S. Discrete maximal regularity for fractional equations. 10th International Congress on Fundamental and Applied Sciences 2023 (ICFAS2023), Istambul, Turkey, June 6 -- June 8, 2023. 4. S. Piskarev. Convergence rate estimates and coercivity for fractional equations An international conference Voronezh Winter Mathematical School "Dedicated to the memory of V.P. Maslov", January 26 -- January 30, 2024, Voronezh, Russia. 5. S. Piskarev. Approximation of fractional equations. An international XXXVII conference Modern methods of the theory of boundary value problems, "Pontryaginskie chtenija - XXXV", April 26 -- April 30, 2024, Voronezh, Russia. 6. S. Piskarev. Shodowing for fractional equations. An INTERNATIONAL CONFERENCE ONE-PARAMETER SEMIGROUPS OF OPERATORS 2024: STOCHASTICS {\&} DYNAMICS, JUNE 3--7, 2024, Qu\'{e}bec, Canada. 7. S. Piskarev. Fractional equations and their approximations. THE INTERNATIONAL CONFERENCE ON DIFFERENTIAL EQUATIONS AND DYNAMICAL SYSTEMS 2024. Suzdal, Vladimir region, Russia, June 28 -- July 3, 2024. 8. S. Piskarev. FRACTIONAL EQUATIONS AND NUMERICAL ANALYSIS. 11-th international workshop " Analytic methords of analysis and differential equations" (AMADE-2024) , Minsk, Belarus, 17-21 September 2018. \end{fulltext} \begin{thebibliography}{99} \RBibitem{Anton} А.В. Антонюк, А.Н. Кочубей, С.И. Пискарев. О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными (English summary). Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6. \emph{Dopov.\ Nats.\ Akad.\ Nauk Ukr., Mat.\ Pryr.\ Tekh.\ Nauky 2014}, {\bf 6}, 7-12 (2014). \RBibitem{MR95j:65094} {\it A.~Ashyralyev and P.~E. Sobolevskii.} Well-Posedness of Parabolic Difference Equations, Operator Theory Advances and Applications, Birkh\"{a}user Verlag, Basel, Boston, Berlin, vol.69, 1994.% \RBibitem{BePi} {\it W.-J. Beyn, S. Piskarev.} Shadowing for discrete approximations of abstract parabolic equations. Discrete Contin. Dyn. Syst., Ser. B 10, No. 1, 19-42 (2008). \RBibitem{beyn1} {\it W.-J. Beyn.} Numerical methods for dynamical systems. Advances in numerical analysis, Vol. I (Lancaster, 1990), 175--236, Oxford Sci. Publ., Oxford Univ. Press, New York, 1991. \RBibitem{fan} Fan, Z.: Characterization of compactness for resolvents and its applications. \emph{Appl.\ Math.\ Comput.} {\bf 232}, 60-67 (2014). \RBibitem{Rogozin} R.\ Gorenflo, A.A.\ Kilbas, F.\ Mainardi, S.V.\ Rogosin. Mittag-Leffler functions, related topics and applications. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer (2020). \RBibitem{mHenry} {\it D.~Henry.} Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1981. \RBibitem{m137a} {\it S.~G. Krein.} \newblock Linear differential equations in {B}anach space. \newblock American Mathematical Society, Providence, R.I., 1971. \newblock Translated from the Russian by J. M. Danskin, Translations of Mathematical Monographs, Vol. 29. \RBibitem{LarSer0} {\it S.~Larsson.} Numerical analysis of semilinear parabolic problems. (English) Ainsworth, Mark (ed.) et al., The graduate student's guide to numerical analysis '98. Lecture notes from the 8th EPSRC summer school in numerical analysis. Leicester, GB, July 5-17, 1998. Berlin: Springer. Springer Ser. Comput. Math. 26, 83-117 (1999). \RBibitem{LarSer} {\it S.~Larsson, J.~M. Sanz-Serna.} The behavior of finite element solutions of semilinear parabolic problems near stationary points. {\em SIAM J. Numer. Anal.}, 1994, {\bf 31}, No. 4, 1000--1018. \RBibitem{lars1} {\it Stig Larsson, J.-M. Sanz-Serna.} A shadowing result with applications to finite element approximation of reaction-diffusion equations. Math. Comp. 68 (1999), no. 225, 55--72. \RBibitem{C.Li} % \by C.~Y.~Li and M.~Li \paper H\"older regularity for abstract fractional Cauchy problems with order in $(0,1)$ \jour J.~Appl. Math. Phys. \vol 6 \pages 310--319 \yr 2018 \RBibitem{p83} Liu, R., Li, M., Piskarev, S.I.: Approximation of semilinear fractional Cauchy problem. \emph{Comput.\ Methods Appl.\ Math.} {\bf 15}, 203-212 (2015). \RBibitem{Pilyu} % {pil1} \by S.~Yu.~Pilyugin \book Shadowing in Dynamical Systems \publ Springer-Verlag \publaddr Berlin \yr 1999 \RBibitem{kniga2} {\it S. Piskarev.} Differential equations in Banach space and their approximation. Moscow, Moscow State University Publish House (in Russian), 2005. \RBibitem{pp2} S. Piskarev., A. Ovchinnikov. Attractors, shadowing and approximation of abstract semilinear differential equations. World Scientific, 2023. 204 pp. ISBN: 978-981-124-892-4 \RBibitem{p94} Siegmund S., Piskarev S. Approximations of stable manifolds in the vicinity of hyperbolic equilibrium points for fractional differential equations. Nonlinear Dynamics (NODY), 2019, Volume 95, Issue 1, pp. 685--697. \RBibitem{p104} Piskarev S., Siegmund S. Unstable manifolds for fractional differential equations. Eurasian journal of mathematical and computer applications. Volume 10, Issue 3 (2022) 58 -- 72. \RBibitem{KaashLunel} {\it Kaashoek, M. A.; Verduyn Lunel, S. M. } An integrability condition on the resolvent for hyperbolicity of the semigroup. J. Differential Equations 112 (1994), no. 2, 374--406. \RBibitem{Kokur} M.M.\ Kokurin. The uniqueness of a solution to the inverse Cauchy problem for a fractional differential equation in a Banach space. \emph{Russian Mathematics} {\bf 57}, 16-30 (2013). \bibitem{KrasZab} M.A.\ Krasnosel'ski{\u\i}, P.P.\ Zabre{\u\i}ko. \emph{Geometrical methods of nonlinear analysis}. Transl.\ from the Russian by Christian C.\ Fenske. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 263, Springer, 1984. \RBibitem{Pop} A.Yu.\ Popov, A.M.\ Sedletskiy. Distribution of the roots of the Mittag--Leffler functions // Sovremennaja mathematica. Fundamental'nye Napravlenija. 2011. V.40. P.3--171. \RBibitem{hoang1} Tuan Hoang The, Siegmund Stefan, Son Doan Thai, Cong Nguyen. An instability theorem for nonlinear fractional differential systems. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 22 (2017), no. 8, 3079–3090. 34D20 (34A08) \RBibitem{80a:65115} {\it G. Vainikko.} \newblock Approximative methods for nonlinear equations (two approaches to the convergence problem) \newblock { Nonlinear Anal.} 1978. {\bf 2}. 647--687. \RBibitem{Vu1} {\it Vu Quoc Phong }. A new proof and generalizations of Gearhart's theorem. Proc. Amer. Math. Soc. 135 (2007), no. 7, 2065--2072. \RBibitem{Vu2} {\it Vu Quoc Phong }. The spectral radius, hyperbolic operators and Lyapunov's theorem. Evolution equations and their applications in physical and life sciences (Bad Herrenalb, 1998), 187--194, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 215, Dekker, New York, 2001. \end{thebibliography}

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".