ИСТИНА

Проблематика, посвященная связям логики и алгебраической геометрии (в том числе некоммутативной) представляется чрезвычайно интересной и важной. В то же время, как нам представляется, ей не уделено должного внимания в силу разных обстоятельств, в том числе не вполне академических. Например, весьма популярны задачи о классификации алгебраических многообразий. И естественно возникает вопрос об алгоритмической разрешимости проблемы изоморфизма двух алгебраических многообразий над полем комплексных чисел. Даны два ассоциативно коммутативных кольца, заданные образующими и соотношениями. Как проверить, изоморфны ли они? Представляется понятным, как показать алгоритмическую неразрешимость проблемы вложимости аффинной прямой в алгебраическое многообразие. Это связано с решением системы уравнений над кольцом многочленов. Что касается общей задачи, то здесь следует заметить, что рациональные многообразия связаны с системами уравнений в рациональных функциях и эту идею можно распространять на иные классы. Универсальная алгебраическая геометрия, развитая школой Б.И. Плоткина (в особенности Ц. Селой) и школой В.Н. Ремесленникова, относящаяся к уравнениям в полугруппах и свободных алгебрах) может оказаться полезной. Чрезвычайно важным вопросом является вопрос о геометрической нетеровости свободной алгебры. Верно ли, что любая система уравнений в свободной алгебре следует из конечной подсистемы? Вопросы, относящиеся к алгоритмическим проблемам и одновременно к алгебраической геометрии, возникают при исследовании базисов алгебр. Пусть $A$ -- ассоциативная алгебра над полем $k$ с упорядоченными образующими $a_1\prec\dots\prec a_s$. Порядок на образующих индуцирует порядок на множестве слов (сперва по длине, потом лексикографически). Нормальным базисом называется множество слов, не представимых в виде линейной комбинации меньших. Вопросы, связанные с устройством такого базиса, чрезвычайно важны в алгебре и имеют связи с логикой и алгебраической геометрией. Если в алгебре выполнено тождество степени $n$, то нормальный базис состоит из кусочно периодических слов, каждый кусок периода не выше $n$, общее число кусков не превосходит константы $H$ универсальной для всех элементов нормального базиса, именуемой высотой алгебры в смысле Ширшова. Базисом Ширшова называется такое множество $Y$, что $A$ порождается как векторное пространство множеством произведений вида $y_1^{k_1}\cdots y_m^{k_m}$ где $m\le H$. В связи с теоремой Ширшова о высоте возникают вопросы: как устроены базисы Ширшова? Как оценить $H$? Каким может быть множество векторов степеней $(k_1,\dots,k_m)$? Все эти вопросы содержательно связаны с алгебраической геометрией и математической логикой. Например, если алгебра $A$ мономиальна (т.е. соотношения имеют вид $v=0$, где $v$ -- слово) и представима (вкладывается в алгебру матриц над кольцом многочленов), то множество векторов степеней для нормального базиса можно полностью описать. Оно есть дополнение до множества решений системы экспоненциально диофантовых уравнений, причем эта система может быть взята произвольно. Из этого следует, что проблема изоморфизма двух мономиальных подалгебр алгебры матриц над кольцом многочленов заданных образующими, алгоритмически неразрешима над полем характеристики ноль. Однако над полем положительной характеристики эта проблема алгоритмически разрешима. Рассмотрим систему $$\sum\limits_{i=1}^sP_{ij}(n_1,\ldots ,n_t)c_{ij1}^{n_1}\ldots c_{ijt}^{n_t}=0,$$ где $P_{ij}$ многочлены. Если коэффициенты $c_{ijk}$ принадлежат полю положительной характеристики (или даже матрицы над ним) то проблема нахождения решения алгоритмически разрешима. Более того, множество решений допускает описание. Пусть $\langle n_1,\ldots,n_t\rangle$ есть решение системы. Обозначим $\overline{{\alpha}_i}$ набор $\langle n_1^{i}\ldots n_t^{i}\rangle$, где $n^{i}$ есть $i$-я цифра $p$-ичного разложения числа $n$. Рассмотрим слово $\overline {{\alpha}_0}\ldots\overline {{\alpha}_q}.$ на алфавите из $p^t$ символов. Множество слов, отвечающих решениям системы образует регулярный язык, который вычисляется. Аналогичным образом, последовательность элементов $\{a_i\}$ конечного поля $F$ является формальным рядом Тейлора для алгебраической функции тогда и только тогда, когда существует конечный автомат, читающий $p$-ичное разложение числа $n$ и вычисляющий $a_n$ ($p=Char(F)$) (классическая теорема), имеется и обобщение этого утверждения на случай многих переменных. Доказательство этого утверждения перекликается с доказательством гипотез Вейля. У авторского коллектива имеется подход, позволяющий посмотреть с этой точки зрения на проблему представимости алгебраической функции в виде суперпозиции алгебраических функций меньшего числа переменных на уровне ростков. Комбинаторные соображения вместе с теорией моделей позволяют продвинуться в аффинной алгебраической геометрии, в частности в проблеме якобиана. Если редуцировать алгебру дифференциальных операторов по модулю $p$, то возникает центр, над которым она становится нетеровым модулем. При редукции по модулю бесконечно большого простого $p$ на центре возникают скобки Пуассона ${P,Q}=[\hat{P},\hat{Q}]/p$, где $\hat{P}$ есть подъем в нулевую характеристику. В квантизационной теореме Концевича для пуассоновой структуры на $A[[h]]$ определяется структура $*$ при этом $x*y\simeq xy mod h$ и $(x*y-y*x)/h\simeq {x,y} mod h$. Отметим что бесконечно большое простое играет роль постоянной Планка $h$. Эндоморфизм алгебры Вейля индуцирует полиномиальный симплектоморфизм, сохраняющий объемы. Отсюда следует эквивалентность гипотез Диксмье и Якобиана, установленная в работах Цучимото, а также А.Я. Белова и М.Л. Концевича. В этой связи возникают задачи на стыке теории моделей. Ряд таких задач был поставлен в работах М.Л.Концевича. Например, А.Я. Беловым и А.М. Елишевым показано, что этот гомоморфизм не зависит от выбора бесконечно большого числа $p$. Ряд алгебраических теорем и доказательств оказывается тесно связанным с квантованием. Например, в основе конструкции алгебраически замкнутого тела Макар-Лиманова над полем нулевой характеристики лежит деформированное умножение Мойала--Вейля (см. работы П.С.Колесникова). Теорема Бергмана о централизаторе (максимальная коммутативная подалгебра свободной ассоциативной алгебры изоморфна кольцу многочленов от одной переменной) также, по всей видимости, допускает "квантовое" доказательство. Скобки Пуассона существенно используются в доказательстве Умирбаева и Шестакова проблемы Нагаты (автоморфизм Нагаты является диким). Квантовыми аналогами теоретико-групповых конструкций служат кольцевые конструкции. В настоящей заявке мы фокусируемся именно на эффектах "квантовой взвеси". Одно из центральных мест в теории групп занимает теория гиперболических групп, включающая в себя теорию групп с малыми сокращениями. Актуальной является задача построения ее кольцевого аналога (определенные идеи на эту тему есть у М.Л. Громова, частное сообщение). Имеется обширная проблематика, с этим связанная, изложенная в частности, в Днестровской тетради. Перечислим лишь несколько наиболее актуальных проблем. Во-первых - это проблема Кете, утверждающая будет ли сумма двух правых ниль-иделов ниль идеалом (см. https://en.wikipedia.org/wiki/Koethe_conjecture). Во вторых это одна из проблем А.Г. Куроша - построение бесконечномерного тела, конечно порожденного как кольцо (поле рациональных функций как кольцо очевидным образом не конечно порождено) . Наиболее трудной представляется другая проблема Куроша - знаменитый вопрос о конечно порожденном бесконечномерном теле все элементы которого алгебраичны. Данная проблематика обсуждается в том числе и в обзоре А. Смоктунович http://www.math.bas.bg/serdica/2001/2001-159-170.pdf. Близкой по духу является тематика, связанная с построением конечно определенных объектов в общей алгебре, активно пропагандировавшаяся В.Н. Латышевым. После построения А.Я. Беловым и И.А. Ивановым-Погодаевым конечно определенной бесконечной ниль-полугруппы с тождеством x^9=0 (проблема Шеврина-Сапира, поставленная, в том числе и в Свердловской тетради) естественно возникают вопросы, относящиеся к "квантизации" этой проблемы или проблеме Латышева о конечно определенном ненильпотентном ниль кольце, являющиеся квантовым аналогом соответствующих полугрупповых вопросов. Возможно, это прольет некоторый свет и на групповую тематику, ибо путем присоединения единицы к ниль кольцу над полем положительной характеристики строится периодическая группа. Построение разного рода "алгебраических монстров" может быть интересно отнюдь не только само по себе, но прежде всего с точки зрения теоретической информатики. Проблема Шеврина--Сапира имеет значение в computer science -- буква алфавита символизирует конечный автомат, а слово -- цепочку локально взаимодействующих автоматов. Задача состоит в координации поведения системы автоматов при обратимых преобразованиях из любых начальных состояниях. Автоматный подход оказался эффективен в решении ряда задач, а здесь - наоборот, встает вопрос о применении геометрического метода и идей полугрупповой и ее "квантового аналога", к -- кольцевой конструкции (когда и если она возникнет) к теоретической информатике. Данный сюжет перекликается с идеями П. Гатча, Г.Л. Курдюмова и Л.А. Левина и о поведении систем конечных автоматов на прямой. Представляется интересным и важным применить геометрические методы, позволяющие переходить от одномерного к многомерному случаю для прояснения знаменитой теоремы П.Гатча -- примера двух случайно эволюционирующих стационарных систем клеточных автоматов на прямой с разными статистиками ( positive rates conjecture). Наше внимание сфокусировано именно на квантовых аспектах. Исследование подстановочных систем и морфических последовательностей имеет фундаментальное значение. Через подстановки, в частности, очень часто задаются фракталы. В этой связи возникают алгоритмические вопросы связанные с распознаванием изоморфизма языков, связанных с такими системами. Даны две HDOLL-системы, генерирующие два сверхслова $W_1$ и $W_2$. Проверить равенство $W_1$ и $W_2$, а также совпадение множеств подслов. Другой достаточно интересной задачей является гипотеза Пизо. А.Я.Беловым и И.В. Митрофановым получена теорема типа теоремы Вершика--Лившица дающую критерий того, что почти периодическое сверхслово задается HDOLL-системой (первое продвижение по этой проблеме было в 1986 году). Это позволило И.В. Митрофанову решить известные проблемы, поставленные А.А. Мучником, Ю.Л. Притыкиным, А.Л. Семеновым -- установить алгоритмическую разрешимость проверки периодичности а также почти периодичности HDOLL-системы. Аналогичный результат был независимо получен F. Durand'ом. Создание Ф. Руховичем компьютерной системы, помогающей находить индукцию Рози и тем самым доказывать фрактальность позволила Ф. Руховичу найти апериодическую точку во внешнем биллиарде вокруг правильного 12-угольника и полностью исследовать правильный восьмиугольник. Нас интересуют прежде всего теоретико числовые аспекты, связанные с различными версиями обобщений теории цепных дробей.

Issues pertaining to the connection between mathematical logic on the one hand and (non-commutative) algebraic geometry on the other are of tremendous interest and importance to modern algebra. However, as it seems, the relevant field of study remains relatively unexplored by mathematical community, for various reasons. A great deal of effort, for instance, is invested into the problem of classification of algebraic varieties. This topic, vast as it is, naturally contains the (more common to the discourse of logicians) question of algorithmic decidability of the problem of isomorphism of two complex algebraic varieties. Dual to this problem is the decidability of isomorphism recognition for commutative associative rings specified by a set of generators and identities. Another geometric problem coming from logic is the decidability of the affine line embedding into a given variety. At the moment this problem seems to be within our grasp. The method employed is connected with solving systems of equations over polynomial rings. Regarding the general setting of rational varieties, a straightforward connection with systems of equations in rational functions may be exploited and extended to other classes of problems. Universal algebraic geometry, as developed by the school of B.I. Plotkin (especially Z. Sela) and the school of V.N. Remeslennikov, is related to equations over semigroups and free algebras and may be of good use. Yet another question of significant importance is the problem of geometric Noetherian properties of free algebras and may be formulated as follows: is it true that any system of equations over a free algebra follows from a finite subsystem? The study of algebraic varieties and the study of algorithms intersect at inquiries into bases of associative algebras. Let $A$ be such an algebra over a field $k$, and let $a_1\prec\dots\prec a_s$ be an ordered set of its generators. The order relation on the set of generators induces an ordering on the set of words made up of these generators (the words are ordered according to their length, words of equal length are ordered lexicographically). A normal basis is a set of words which cannot be represented as a linear combination of smaller words, in the sense of the ordering. Questions concerning structure and property of such normal bases are of immense importance in algebra and are closely related to mathematical logic and algebraic geometry. If in an algebra, there is an identity of degree $n$, then the normal basis consists of piecewise periodic words, each piece being of period not greater than $n$, and the total number of pieces is bounded by a constant $H$ which is universal for all elements of the normal basis and is called Shirshov's height of the algebra. A Shirshov's basis is a set $Y$ such that $A$ is generated as a vector space by the set of elements of the form $y_1^{k_1}\cdots y_m^{k_m}$ with $m\le H$. In connection with Shirshov's height theorem the following questions arise. What can be said about the structure of Shirshov's basis? How can one provide an estimate for Shirshov's height? What are the possible sets of tuples of degrees $(k_1,\dots,k_m)$? These questions are in a substantial way related to algebraic geometry and logic. For example, if an algebra $A$ is a monomial algebra (that is, this algebra's identities are of the form $v=0$, where $v$ is a word) and if, further, $A$ is representable (i.e. can be embedded in an algebra of matrices with polynomial entries), then the set of degree tuples for a given normal basis can be described: its complement is the set of solutions of a system of exponential diophantine equations, moreover this system of equations can be taken arbitrarily. Using this result, one can show that the isomorphism problem for two monomial subalgebras of a matrix algebra with polynomial entries is algorithmically undecidable in characteristic zero. On the other hand, in positive characteristic this problem turns out to be decidable. Consider the system $$\sum\limits_{i=1}^sP_{ij}(n_1,\ldots ,n_t)c_{ij1}^{n_1}\ldots c_{ijt}^{n_t}=0,$$ where $P_{ij}$ are polynomials. If the coefficients $c_{ijk}$ are elements of a field of positive characteristic (or even matrices over one), then the solution search problem is decidable. Furthermore, the set of solutions admits the following description. Let $\langle n_1,\ldots,n_t\rangle$ be a solution to the system. Denote by $\overline{{\alpha}_i}$ the collection $\langle n_1^{i}\ldots n_t^{i}\rangle$, where $n^{i}$ is the $i$-th number in the $p$-ary decomposition of $n$. Consider the word $\overline {{\alpha}_0}\ldots\overline {{\alpha}_q}$ in an alphabet of $p^t$ letters. The set of words corresponding to solutions of the system then forms a regular computable language. Similarly, a sequence of elements $\{a_i\}$ of a finite field $F$ is realized as the set of coefficients in a formal Taylor series of an algebraic function if and only if there exists a finite-state machine on the $p$-ary decomposition of $n$ that computes $a_n$ (this is a classical result, which also admits a generalization to the case of multiple variables). The proof of that result resembles the proof of Weil conjectures. Our group has devised an approach, based on the application of that result, to the problem of impossibility of representing an algebraic function as a composition of algebraic functions of fewer variables at the local (germ) level. Combinatorial analysis together with modulo infinite prime reduction (which is an anti-quantization, of sorts) has enabled us to obtain deep results in the theory of polynomial automorphisms and algebraic $D$-modules. The modulo infinite prime reduction allows one to generate additional canonical structures from the existing ones, such as in the case of the Weyl algebra, when the usual operator commutator generates a Poisson bracket on the center via the formula ${P,Q}=[\hat{P},\hat{Q}]/p$ ($\hat{P}$ stands for the preimage in characteristic zero). In the well-known quantization theorem of Kontsevich, Poisson structures on $A[[h]]$ determine associative deformed products $*$ such that $x*y\simeq xy mod h$ и $(x*y-y*x)/h\simeq {x,y} mod h$. In the positive characteristic case the role of Planck's constant $h$ is played by the infinite prime. This enables one to construct the following, rather surprising, correspondence: an endomorphism of the $n$-th Weyl algebra induces a polynomial symplectomorphism of the affine space of dimension $2n$, which is invertible if and only if the endomorphism is an automorphism. This in turn has led Y. Tsuchimoto, and independently A.Ya. Belov and M.L. Kontsevich, to prove stable equivalence between a conjecture of J. Dixmier on Weyl algebra endomorphisms and Keller's celebrated Jacobian conjecture. The theory of anti-quantization, as described above, relies heavily on model-theoretic constructs - a circumstance which prompts one to ask whether the correspondences arising from it are independent of the choice of non-constructible objects (such as ultrafilters and infinite primes). In the case of the Tsuchimoto--Belov--Kontsevich morphism, A.Ya Belov and A.M. Elishev have managed to prove such independence property. Several theorems and proofs of algebraic nature turn out to be closely related to quantization. For instance, L. Makar-Limanov's construction of an algebraically closed skew field over a field of characteristic zero is based on the use of the Moyal-Weyl product (cf. the work of P.S. Kolesnikov). Also it would seem that Bergman's theorem on the centralizer (which states that the maximal commutative subalgebra of the free associative algebra is isomorphic to the polynomial ring in one variable) admits a quantization-based proof. Poisson structures are used extensively in the proof by Umirbaev and Shestakov of the wildness of the Nagata automorphism. Ring constructions serve as the quantum analogue of group-theoretic constructions. One of the central roles in group theory is played by the theory of hyperbolic groups, which contains in itself the study of groups satisfying small cancellation conditions. An interesting open problem is to construct its analogue for rings (several ideas on the matter have been suggested by M.L. Gromov, private communication). A wide variety of problems related to the subject in question was systematized and published in the well-known Dniestr Notebook of unsolved problems in the theory of rings and modules. We mention a few open problems of substantial importance. Firstly, the Koethe conjecture, which asks whether the sum of two right nil ideals is a nil ideal (cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Koethe_conjecture). Secondly, a problem posed by A.G. Kurosh: construct an infinite-dimensional skew field which is finitely generated as a ring (observe that the field $\mathbb{Q}$ of rational numbers is evidently not finitely generated as a ring). Finally, arguably the toughest problem is also due to Kurosh - a well-known question about finitely generated infinite-dimensional skew field, all whose elements are algebraic. These problems are covered, for instance, in the review by A. Smoktunovicz (http://www.math.bas.bg/serdica/2001/2001-159-170.pdf). Of similar flavor is the problem of construction of examples of finitely presented objects in universal algebra, which was actively popularized by V.N. Latyshev. After the successful construction by A.Ya. Belov and I.A. Ivanov-Pogodaev of an example of finitely presented infinite nil semigroup with identity $x^9=0$ (the Shevrin--Sapir problem, which was posed in the Sverdlovsk Notebook), questions arise in a natural way related to the quantization of this problem as well as to Latyshev's problem on finitely presented non-nilpotent nil ring, which are quantum analogs of corresponding problems in semigroup theory. It is possible that our line of research may gain insight on problems in group theory, for a periodic group is constructed by adjoining a unit to a nil ring over a field of positive characteristic. Construction of various "algebraic monsters", while a problem of its own merit, possesses much substance in computer science. Take the case of the Shevrin -- Sapir problem: the letter in an alphabet corresponds to a finite automaton, while a word in the alphabet corresponds to a chain of locally interacting automata. The problem is then in coordinating the behavior of the system of automata under invertible transformations subject to arbitrary initial conditions. The automata approach has proven its effectiveness in resolving a number of problems; in our case, conversely, the problem reduces to application of geometric methods, as well as tools from the theory of semigroups (and its quantum analogue, whenever it emerges) to topics in computer science. This approach overlaps with ideas of P. Gacs, G.L. Kurdyumov, and L.A. Levin, as well as with the problem of describing the behavior of finite automata on a line. It is a problem of considerable interest and importance to apply the geometric methods, which allow extension of the one-dimensional case to the multidimensional one, in order to gain insight into the well-known Positive Rates Conjecture of Gacs, which gives an example of two randomly evolving stationary systems of cellular automata on a line with distinct statistics. The inquiry into substitution dynamical systems and morphic sequences is of profound significance. Fractals, for instance, are fairly often defined by specification of a substitution system. In connection to this, questions emerge pertaining to language isomorphism recognition algorithms. For two HDOLL-systems, which generate two superwords $W_1$ and $W_2$, the problem then is checking the equality $W_1=W_2$, as well as verifying that the sets of subwords coincide. Another rather interesting problem is given by the Pisot conjecture. A.Ya. Belov jointly with I.V. Mitrofanov have developed an analog of the Vershik-Livshitz theorem, giving a criterion for definability of an almost periodic superword by an HDOLL-system. This result enabled I.V. Mitrofanov to solve famous problems posed by A.A. Muchnik, Yu.L. Pritykin, A.L. Semyonov , namely to establish algorithmic undecidability of checking periodicity as well as almost periodicity of an HDOLL-system. (An analogous result was independently obtained by F. Durand.) The development by F. Rukhovich of a computer program which can search for Rauzy induction and thus prove the fractal property has enabled Rukhovich to discover an aperiodic point in the outer billiard of the regular dodecagon, as well as study the case of regular octagon. We are first and foremost interested in the number-theoretic side of the problem which in this case emerges as various generalizations of continued fractions theory.

1. Предполагается доказать алгоритмическую неразрешимость проблемы вложения аффинной прямой в алгебраическое многообразие. Предполагается работать над алгоритмической неразрешимости проблемы изоморфизма двух алгебраических многообразий. 2. Планируется продолжить исследования по проблеме Якобиана. Планируется доказать гипотезу Концевича о естественной изоморфности групп полиномиальных симплектоавтоморфизмов и автоморфизмов алгебр Вейля через $\Ind$-схемы а также работать над иными задачами. 3. Предполагается доказать теорему о свободе для произвольного поля (теорема о свободе означает, что если к свободной алгебре добавить образующую и соотношение, в котором она участвует, то на старые образующие никаких соотношений не наложится). 4. Планируется получить несколько доказательств теоремы о рядах Тейлора алгебраических функций по модулю $p$, получить теоремы о старших и предстарших членах элементов подкольца. Планируется работать над проблемой суперпозиции. 5. Предполагается написать текст доказательства проблемы Кете. Планируется работать над вопросами геометрической теории колец а также над проблемой Латышева. 6. Предполагается доказать алгоритмическую разрешимость проблемы изоморфизма языков, заданных HDOLL-системами, а также проблему равенства соответствующих сверхслов.

1. Руководитель проекта совместно с М.Л. Концевичем разработал подход к теории $D$-модулей, гипотезе Якобиана и смежным вопросам (например, относящихся к универсальным обертывающим алгебрам конечномерных алгебр Ли), связанный с редукцией по модулю бесконечно большого простого числа и изучению скобок Пуассона на центрах получившихся образований. 6. Доказана руководителем проекта локальная конечная базируемость и локальная представимость многообразий алгебр (проблема Шпехта). Показано, что любая система тождеств от ограниченного числа переменных следует из конечной подсистемы. В то же время построена бесконечно базируемая система тождеств. Доказательство использует соображения связанные с некоммутативной алгебраической геометрией и привело к пониманию концепции Грассмановой алгебры над полем произвольной характеристики, включая характеристику 2. 7. Руководитель проекта разработал технику доказательства конечной базируемости многообразий алгебр связанную с применением леммы Артина--Рисса, совместно с И. Рипсом и Ц. Селой разработал способ (основанный на рассмотрении вектора привилегированных членов), позволяющий увидеть, например, как соотношения $(x+\lambda_ny)^{100^n}$ не влекут нильпотентность $x+\delta y$ при $\delta\notin\{\lambda_i\}$. Это может дать ключ к решению проблемы Кете. 10. А.Я.Беловым и И.А.Ивановым-Погодаевым решена проблема Шеврина-Сапира -- построена конечно определенная бесконечная ниль-полугруппа с тождеством $x^9=0$. Вопрос был поставлен в Свердловской тетради. Проблема Шеврина-Сапира требует методов, связанных с геометрией апериодических мозаик на равномерно-эллиптическом пространстве, которые и были разработаны. 12. Совместно с И.А. Рипсом была начата разработка теории канонических форм для колец а также концепции гиперболического кольца. Было построено бесконечномерное тело, конечно порожденное как кольцо.

Работа только началась