Большие уклонения и асимптотическое поведение стохастических эволюционных систем и процессов с обновлениемНИР

Large deviations and asymptotic behavior of stochastic evolutionary systems and renovating processes

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 15 марта 2017 г.-31 декабря 2017 г. Большие уклонения и асимптотическое поведение стохастических эволюционных систем и процессов с обновлением
Результаты этапа: В ходе исследование ветвящихся случайных блужданий получены уравнения для производящих функций и моментов численностей частиц, как в каждой точке многомерной решетки, так и на всей решетке, без ограничения на дисперсию скачков, лежащего в основе процесса случайного блуждания. С помощью гармонического анализа установлены оценки для преобразования Фурье переходных интенсивностей, позволяющие исследовать поведение функций Грина и устанавливать возвратность/транзиентность для ветвящихся случайных блужданий на основе резольвентного представления функций Грина без использования асимптотического поведения переходных вероятностей случайного блуждания. При малых значениях параметра и фиксированной пространственной координате проведена классификация функций Грина, как при конечной, так и при бесконечной дисперсии скачков. На основе этих результатов доказаны предельные теоремы о структуре спектра эволюционного оператора средних численностей частиц в случае конечного числа источников различной интенсивности, в частности получена теорема для случая, когда в некоторых из источников процесс Бьеноме-Гальтона-Ватсона, описывающий ветвление, является надкритическим, а в оставшихся докритическим. Установлены сильные предельных теоремы (в смысле сходимости с вероятностью единица) для фронта распространения ветвящегося случайного блуждания по многомерной решетке в случае, когда скачки управляющего марковского процесса имеют тяжелые хвосты. Проведено моделирование ветвящихся случайных блужданий с конечным числом источников. Установлены условия стабильности многоканальной системы обслуживания с неидентичными приборами и регенерирующим входящим потоком. Времена обслуживания произвольно распределены, а поломки приборов могут возникать в любые моменты времени, а не только когда прибор занят обслуживанием. Процессы, определяющие моменты поломок и восстановлений различных приборов, могут быть зависимы, но они - регенерирующие с общими моментами регенерации. Такого сорта ситуация возникает, например, когда поломки приборов вызваны влиянием внешних факторов или приходом в систему приоритетных требований. Предполагается, что регенерирующий процесс прерываний обслуживания и восстановлений приборов и входящий поток требований независимы. Рассмотрены дисциплины с продолжением обслуживания после прерывания (preemptive resume service discipline) и с независимым обслуживанием заново (preemptiv repeat different service discipline), введенные Гейвером (Gaver 1962). Исследованы системы как с дискретным, так и с непрерывным временем. В последнем случае накладываются дополнительные условия на распределение периода регенерации процесса, определяющего моменты поломок и восстановлений приборов. А именно, период регенерации является суммой двух независимых случайных величин, одна из которых имеет экспоненциальное распределение. Мы называем это свойством сильной регенерации. Доказаны необходимые и достаточные условия стабильности таких систем, то есть существования предельного распределения, когда время стремится к бесконечности, у процессов, описывающих функционирование системы. Для систем с непрерывным временем, не удовлетворящих условию сильной регенерации процесса поломок и восстановлений, доказано, что соответствующие процессы стохастически ограничены, когда коэффициент загрузки меньше единицы. Результаты применены к анализу стабильности многоканальных систем с абсолютными приоритетами. Для систем с независимым обслуживанием заново условие стабильности не выражается в терминах средних значений случайных величин, определяющих модель. Так как вычисление коэффициента загрузки может представлять трудности, для него найдена верхняя оценка, обеспечивающая стабильность системы. Результаты исследований оформлены и статья представлена в журнал "European Journal of Operation Research". Рассмотрены многоканальные системы массового обслуживания с регенерирующим входящим потоком и независимыми временами обслуживания требований с конечным математическим ожиданием. Изучены системы с различными дисциплинами обслуживания: системы с общей очередью и системы с отдельными очередями перед каждым прибором. В последнем случае клиент, пришедший в систему, выбирает один из приборов в соответствии с заданным правилом и остается в выбранной очереди до момента выхода из системы. Определяются некоторые классы дисциплин. Дисциплина принадлежит классу K0, если из сходимости процесса числа требований в системе к бесконечности по вероятности следует сходимость длины очереди перед каждый прибором к бесконечности по вероятности. В случае, если дисциплина принадлежит классу K0 и, кроме того, добавляется условие, что из сходимости процесса числа требований в системе к бесконечности почти наверное следует сходимость длины очереди перед каждый прибором к бесконечности почти наверное, то дисциплина принадлежит классу K1. Для дисциплин класса K0 получено необходимое и достаточное условие эргодичности для процессов остаточного времени ожидания и длины очереди, для дисциплин класса K1 доказаны предельные теоремы о слабой сходимости нормированных процессов остаточного времени ожидания и длины очереди к Винеровскому процессу в ряде случаев. Рассмотрены примеры дисциплин из указанных классов. Произведено сравнение нормировочных коэффициентов для различных дисциплин обслуживания. Основное внимание в 2017 году было также уделено выводу функциональной предельной теоремы для периодических процессов восстановления с запаздыванием. Это позволило изучить асимптотическое поведение доходов (потерь), связанных с обобщенными процессами восстановления и применить полученные результаты в различных приложениях, таких как теория запасов и страхование, для построения асимптотически оптимальных политик управления. Для дуальной модели Крамера-Лундберга была предложена новая политика выплаты дивидендов, при которой уровень дивидендного барьера может меняться после каждой выплаты. Установлено, что при растущих барьерах ожидаемые дисконтированные дивиденды до момента разорения окажутся больше, чем при фиксированном барьере. Для классической модели Крамера-Лундберга был введен новый показатель качества функционирования страховой компании. А именно, время пребывания капитала в положительной области до наступления парижского разорения (пребывание капитала в отрицательной области более заданного заранее времени). Для этого показателя найдено выражение для преобразования Лапласа как функции от параметров системы. Проведен анализ чувствительности к малым изменениям параметров. Другое направление исследований – изучение устойчивости рассматриваемых моделей. Рассмотрено два типа задач – устойчивость по отношению к малым возмущениям распределений и чувствительность к малым флуктуациям параметров, задающих рассматриваемые системы. Для решения задач первого типа использовались вероятностные метрики, в частности, равномерная метрика и метрика Канторовича-Вассерштейна. Так, для дискретной модели страховой компании с перестрахованием и периодическим вливанием капитала была найдена оценка изменения минимальных дополнительных издержек за n периодов, если возмущение процесса поступающих в компанию требований мало в смысле метрики Канторовича-Вассерштейна. Предполагалось, что премии страховщика и перестраховщика подсчитываются по принципу среднего. Полученная оценка зависит от трех параметров: коэффициенты нагрузки страховщика и перестраховщика и коэффициент дисконтирования. При изучении задач второго типа использовалась модификация метода Соболя для построения наиболее показателей значимости, позволяющих, например, исключать из рассмотрения те параметры, которые оказывают ничтожно малое влияние на поведение системы. Использовались также такие локальные методы, как исследование производных по параметрам, построение диаграмм рассеивания и компьютерное моделирование. Для классической модели Крамера-Лундберга был введен новый показатель качества функционирования страховой компании. А именно, время пребывания капитала в положительной области до наступления парижского разорения (пребывание капитала в отрицательной области более заданного заранее времени). Для этого показателя найдено выражение для преобразования Лапласа как функции от параметров системы. Проведен анализ чувствительности к малым изменениям параметров.
2 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Большие уклонения и асимптотическое поведение стохастических эволюционных систем и процессов с обновлением
Результаты этапа: Поставленные на 2018 год задачи выполнены. Все полученные результаты являются новыми. В 2018 г. продолжено исследование эволюции сложных стохастических систем с использованием спектральной теории операторов с многоточечными возмущениями. Одним из основных результатов в этом направлении является доказательство предельной теоремы об асимптотическом поведении надкритического симметричного ветвящегося случайного блуждания по многомерной решетке для произвольной конфигурации конечного числа источников ветвления положительной интенсивности при условии деления частиц в источниках на произвольное число потомков. Развит общий подход к доказательству таких теорем с использованием резольвентного представления для функций Грина переходных вероятностей случайного блуждания, лежащего в основе процесса, без ограничений на дисперсию скачков случайного блуждания. Данный подход обобщает результаты, полученные ранее Л.В. Богачевым и Е.Б. Яровой для надкритического ВСБ по многомерной решетке с конечной дисперсией скачков и одним источником ветвления. В случае одного источника и деления частицы на два потомка доказательство приведено в монографии Е.Б. Яровой. В случае одного источника и деления частицы на произвольное число потомков теорема была анонсирована в УМН, 1998. По данной тематике принята к печати статья И.И. Христолюбова и Е.Б. Яровой «Предельная теорема для надкритического случайного блуждания с источниками различной интенсивности» в журнал ТВП. Мы предполагаем, что предложенный подход позволит обобщить полученные в статье результаты на ветвящееся случайное блуждание с нарушением симметрии в конечном числе произвольных точек решетки. Доказаны теоремы о структуре спектра эволюционного оператора средних численностей частиц при попарном стремлении расстояний между источниками к бесконечности. Изучено влияние геометрической конфигурации источников в ветвящемся случайном блуждании с конечном числом источников генерации частиц на асимптотическое поведение процесса. Результаты были представлены в пленарном докладе Е.Б. Яровой на SMTDA, 2018 (Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis International Conference with Demographics Workshop, Ханья, Крит, Греция, 12 июня - 15 октября 2018). В совместной работе с проф. Н. Лимниосом (Франция) предложен новый подход к доказательству теорем о диффузионной аппроксимации около критических ветвящихся процессов, основанный на сходимости инфинитезимальных производящих операторов полугруппы. Проведено моделирование диффузионной аппроксимации ветвящихся процессов. Результаты исследований доложены на SMTDA, 2018 (Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis International Conference with Demographics Workshop, Ханья, Крит, Греция, 12 июня - 15 октября 2018). По результатам работы представлена к печати статья N. Limnios, E. Yarovaya ``Diffusion Approximation of Near Critical Branching Processes in Fixed and Random Environment’’ в журнал ``Stochastic Models’’. Исследованы модели ветвящихся случайных блужданий по многомерным решеткам с бесконечным числом источников генерации частиц и иммиграцией частиц в каждую точку решетки. Доказаны теоремы об асимптотическом поведении первого момента и второго смешанного момента численностей частиц в точках решетки для ветвящегося случайного блуждания с иммиграцией и бесконечным числом частиц в начальный момент времени при условии того, что ветвление в каждой точки решетки описывается докритическим ветвящемся процессом Гальтона-Ватсона. Для этой модели установлены достаточные условия устойчивости состояния системы. По данной тематике опубликована статья Han D., Makarova Y., Molchanov S., Yarovaya E. (2017) ``Branching Random Walks with Immigration’’. In: Rykov V., Singpurwalla N., Zubkov A. (eds) Analytical and Computational Methods in Probability Theory. ACMPT 2017. Lecture Notes in Computer Science, vol 10684. Springer, Cham (не вошедшая в отчет 2017 г.) Готовится к печати статья Ю.К. Макаровой и Е.Б. Яровой совместно с Д. Хан (США) и С.А. Молчановым, включающая исследование устойчивости модели. Для критических ветвящихся случайных блужданий по многомерным решеткам в случае конечной дисперсии скачков случайного блуждания, лежащего в основе процесса, и бесконечного числа начальных частиц исследована структура поля частиц, и получены условия образования кластеров частиц на решетке в зависимости от ее размерности. Готовится к печати статья Д.М. Балашовой, С.А. Молчанова и Е.Б. Яровая. Для ветвящегося случайного блуждания с бесконечным числом начальных частиц и одним источником ветвления доказаны предельные теоремы об асимптотическом поведении популяций и субпопуляций частиц. С помощью спектрального подхода установлена дуальность рассматриваемой модели и модели с одной начальной частицей в том смысле, что уравнения для первого момента численности частиц в нуле с бесконечным числом начальных частиц совпадают с уравнением для первого момента общей численности частиц при наличии одной начальной частицы в источнике ветвления. Учет перемещения частиц в моделях ветвящихся случайных блужданий позволяет применить полученные результаты для описания пространственного распространения вирусных эпидемий. Также в рамках проекта рассмотрены модели с учетом противовирусной вакцинации. По данной тематике принята к печати статья E. Ermakova, P. Makhmutova, E. Yarovaya ``Branching Random Walks and their Applications for Epidemic Modelling’’ в журнал ``Stochastic Models’’. Для некоторых моделей ветвящихся случайных блужданий с бесконечной дисперсией скачков получена оценка скорости роста преобразования Фурье переходных интенсивностей и асимптотика моментов численностей частиц в источнике в докритическом и критическом случаях. Для докритического и критического ветвящегося случайного блуждания с бесконечной дисперсией скачков исследована асимптотика вероятности вырождения популяции частиц на всей решетке в зависимости от ее размерности и параметра, отвечающего за свойства блуждания. Статья A. Rytova, E. Yarovaya ``Survival Analysis of Particle Populations in Branching Random Walks’’ представлена в журнал ``Communications in Statistics - Simulation and Computation’’. Развитие теории слабо надкритических ветвящихся случайных блужданий c тяжелыми хвостами по многомерным решеткам, начатой в работах Е.Б. Яровой, нашло свое отражение в исследовании А.И. Рытовой по изучению асимптотики моментов численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании. Исследование распространения фронта популяции частиц в слабо надкритическом ветвящемся случайном блуждании основано на результатах об асимптотическом поведении старшего собственного значения, полученного Е.Б. Яровой в 2017 г. Рассмотрен переход от моделей с дискретным числом состояний к моделям с конечным числом состояний за счет укрупнения состояний системы в ветвящемся случайном блуждании. Доказаны предельные теорем о временах первого выхода и первого возвращения в начальное состояние для немарковских моделей ветвящихся случайных блужданий как с одним источником ветвления, так и для некоторых конфигураций нескольких источников в случае конечной дисперсии скачков, а также при условии на переходные интенсивности, которые приводят к бесконечной дисперсии скачков. На эту тему готовится статья Г.А. Попова и Е.Б. Яровой. Л.Г. Афанасьевой найдены условия, при которых удается построить общие моменты регенерации входящего в систему обслуживания регенерирующего потока и вспомогательного выходящего потока. Последний представляет собой число требований, обслуженных во вспомогательной системе, такой, что в ней всегда есть требования для обслуживания. Построение этих общих точек регенерации мы называем синхронизацией потоков. Основное предположение – независимость входящего потока от процессов, определяющих функционирование приборов (моменты поломок и восстановлений, случайные скорости обслуживания и так далее) и последовательностей, задающих времена и правила обслуживания требований. По данной тематике подготовлена к печати статья. Рассмотрены системы как с дискретным, так и непрерывным временем. Коэффициент загрузки определяется как отношение средних приращений на общем периоде регенерации вспомогательного выходящего и входящего потоков. Установлены условия, при которых процесс, определяющий функционирование системы, стохастически ограничен тогда и только тогда, когда этот коэффициент меньше единицы. Предложенный подход позволяет решать проблему стабильности моделей обслуживания в весьма общих предпосылках относительно входящего потока, процессов, определяющих поломки (если таковые имеются) и восстановлений приборов, правил обслуживания и так далее. Кроме того, поскольку в достаточно естественных условиях при входящем регенерирующем потоке выходящий из системы поток также является регенерирующим, метод синхронизации оказывается весьма эффективным инструментом асимптотического анализа сетей массового обслуживания. На основе метода синхронизации получено необходимое и достаточное условие стабильности многоканальной системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которой для обслуживания требования одновременно необходимо несколько приборов и число этих приборов случайно. Данная постановка возникла из приложений при моделировании телекоммуникационных и компьютерных сетей и в настоящее время весьма популярна в литературе. Анализ стабильности опирается на матрично- геометрический подход Ньютса или на так называемый, системно-точечный подход Брилла и Познера. За редким исключением в качестве входящего потока берется пуассоновский, а времена обслуживания экспоненциально распределены. Существуют два класса таких моделей: 1) системы с идентичным обслуживанием, когда требование занимает несколько приборов, но время обслуживания на них одно и то же, хотя и случайно; 2) системы с независимым обслуживанием, когда времена обслуживания на занятых требованием приборах одинаково распределены и независимы. В рамках проекта исследованы модели обоих классов. В качестве распределения времени обслуживания берется фазовое или гиперэкспоненциальное. Устанавливается, что вспомогательный выходящий поток будет сильно регенерирующим, то есть его период регенерации является суммой двух независимых случайных величин, одна из которых имеет экспоненциальное распределение. Это обеспечивает построение общих точек регенерации входящего и вспомогательного выходящего потока, а также построение вычислительного алгоритма для коэффициента загрузки. Оказалось, что при экспоненциальном распределении времени обслуживания полученный результат совпадает с имеющимися в литературе для систем с пуассоновским входящим потоком. Однако, распределение времени обслуживания играет определенную роль, так что коэффициент загрузки не выражается через его среднее значение. Насколько нам известно, нет работ, в которых рассматривалась проблема стабильности для систем с одновременным обслуживанием одного требования несколькими приборами с общим типом входящего потока и не экспоненциально распределенным временем обслуживания. Предложенный в проекте метод синхронизации позволяет решить проблему в достаточно общих предположениях. Изучены системы массового обслуживания с регенерирующим входящим потоком и различными типами дисциплин обслуживания: системы с общей очередью и системы с отдельной очередью перед каждым прибором в условиях сверхвысокой загрузки. В системах с отдельными очередями перед приборами пришедшее в систему требование выбирает один из приборов случайно в соответствии с заданным правилом и остается в выбранной очереди до момента ухода из системы. Предполагается, что времена обслуживания требований – независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным математическим ожиданием. Расширен класс дисциплин, для которых доказаны предельные теоремы о слабой сходимости нормированных процессов остаточного времени ожидания и длины очереди к винеровскому процессу в случае, когда коэффициент загрузки больше единицы и его абсолютному значению при коэффициенте загрузки, равном единице. Рассмотрены примеры дисциплин, для которых выполнены указанные предельные теоремы. Результаты исследований доложены на международных конференциях, и статья С. Гришуниной опубликована в журнале ``Methodology and Computing in Applied Probability’’, 2018. Доцентом Е.Е. Баштовой в 2018 г. рассматривалась бесконечноканальная система, в которой время обслуживания заявок имеет тяжелые хвосты, а интенсивность поступления заявок масштабируется. Исследование было проведено для модели с интенсивностью входящего потока, зависящей от времени. Изучены два варианта масштабирования - условия быстрого и медленного роста интенсивности. Статистический анализ высокоскоростных соединений показывает, что передача данных в сети обладает тремя свойствами: тяжелыми хвостами, масштабированностью и зависимостью от длительного промежутка времени. Традиционные модели массового обслуживания рассматривают независимые интервалы поступления/обработки запросов в систему, как правило имеющее экспоненциальное распределение, что приводит к зависимости только от короткого промежутка времени в прошлом и, следовательно, не подходят для описания передачи данных в сетях. Зависимости от длительного промежутка времени и масштабированность обычно объясняется тяжелыми хвостами времени передачи данных, размеров передаваемых файлов и особенностями передачи пакетов данных. Изучено асимптотическое поведение процесса, описывающего загруженность системы и доказаны предельные теоремы. При этом оказывается, что после центрирования и нормирования периодичность интенсивности входящего потока в условиях быстрого роста интенсивности играет существенную роль, а в условиях медленного роста интенсивности роли не играет. Сделан доклад на конференции, готовится к публикации статья. Рассмотрены также системы обслуживания с одним обслуживающим прибором и регенерирующим входящим потоком. Построена состоятельная оценка коэффициента загрузки системы в условиях наблюдения лишь траектории процесса количества требований в системе до момента ухода из системы n-ого поступившего требования. Доказана асимптотическая нормальность полученной оценки, построен доверительный интервал и процедура проверки гипотез. Рассмотрена система с ненадежным прибором, для нее решены те же задачи. Готовится к публикации статья. В рамках проекта в 2018г. проф. Е.В. Булинской были продолжены исследования, начатые в 2017г. Изучалось асимптотическое поведение моделей риска, возникающих в различных приложениях теории вероятностей, таких как страхование, теория запасов и водохранилищ, финансы, телекоммуникация, массовое обслуживание и др. Речь идет об эволюционных моделях типа «вход-выход», которые описываются набором следующих элементов (T,Z,Y,U,Ψ,L). Здесь T – это горизонт планирования, Z – входящий процесс (или поток), Y – выходящий процесс, U – управление, Ψ – функционал, характеризующий способ функционирования изучаемой системы и задающий таким образом ее состояние X= Ψ(Z,Y,U). Процессы Z,Y,U,X – это, вообще говоря, многомерные процессы (детерминированные или случайные), зависящие от времени t, которое изменяется в промежутке [0,T]. Наконец, последний элемент L=L(T,Z,Y,U,X) – это целевая функция или мера риска, которая оценивает качество функционирования системы. Основное внимание уделялось моделям, возникающим в страховании, хотя другая интерпретация входящих и выходящих процессов позволяет получать интересные результаты и в других приложениях. Рассматривались модели с непрерывным и дискретным временем в рамках надежностного и стоимостного подходов. В последние годы возросло число работ, в которых исследуются модели страхования с дискретным временем (отметим работы C. Lefevre, P. Pickard, S. Loisel и др.) Выяснилось, что, с одной стороны, использование моделей с дискретным временем позволяет более точно описывать функционирование страховой компании, так как заключение договоров перестрахования, а также выплата дивидендов обычно производятся в конце финансового года. С другой стороны, модели с дискретным временем могут использоваться для аппроксимации моделей с непрерывным временем и получения численных результатов. Рассмотрение моделей страхования в рамках стоимостного подхода было начато Е.В. Булинской еще в 2003 году и продолжено в последующие годы. В работах 2018г. рассмотрены два типа моделей: одна из них относится к получению краткосрочных кредитов, а другая к инвестициям в безрисковый актив. В статье (Bulinskaya, Kolesnik 2018) получен алгоритм для вычисления вероятности разорения для модели с периодическим поступлением требований на выплаты в страховую компанию. Размеры требований являются независимыми одинаково распределенными неотрицательными случайными величинами, обладающими плотностью и конечным математическим ожиданием. Функционирование алгоритма иллюстрируется с помощью численного моделирования. Интерес представляет рассмотрение многомерных процессов риска и изучение их асимптотического поведения. В предположении, что требования поступают из двух независимых источников, удалось модифицировать результаты, относящиеся к одномерному случаю. Проведена проверка устойчивости модели к малым флуктуациям параметров с помощью модификации метода Соболя, предложенной в предыдущих работах Булинской. В статье (Bulinskaya, ASMBI) исследована модель с дискретным временем при использовании краткосрочных займов в рамках стоимостного подхода. Методом динамического программирования был найден вид оптимальной политики, минимизирующей дополнительные дисконтированные издержки за конечное число периодов. А также установлено предельное поведение издержек при неограниченном росте горизонта планирования. При отсутствии дисконтирования в качестве целевой функции рассмотрены средние издержки за единицу времени при росте числа периодов (а значит, времени наблюдения). В результате получена асимптотически оптимальная политика. Для того чтобы иметь возможность применить полученные результаты в случае неполной информации, проведена оценка изменения целевой функции при замене одного распределения требований на другое. Использовались вероятностные метрики: равномерная метрика Колмогорова и метрика Канторовича-Вассерштейна. Эти методы и приемы могут быть полезны и при исследовании других моделей. В той же работе рассмотрена и модель с непрерывным временем, точнее, дуальная модель риска Спарре Андерсена с выплатой дивидендов. Она описывает не только функционирование страховой компании, имеющей дело с аннуитетами, но и венчурной инвестиционной компании или капитал бизнеса, имеющего дело с научными исследованиями и разработками. Основное внимание уделено изучению новой стратегии выплаты дивидендов. Она отличается от популярной в литературе барьерной стратегии (изучавшейся, например, Avanzi для дуальной модели) тем, что после очередной выплаты дивидендов барьер может меняться в сторону его повышения. Доказано, что такая стратегия приводит к увеличению ожидаемых выплат дивидендов до момента разорения. Введено также обобщение рассматриваемой модели на случай парижского разорения вместо классического. Иначе говоря, предполагается, что банкротство наступает, если капитал компании находится в отрицательной области дольше заданного промежутка времени (а не сразу после попадания туда). Показано, что и для этой модели стратегия с переменным уровнем барьера дает лучшие результаты. Парижская вероятность разорения рассмотрена также в статье (Булинская, Шигида). Вычислена вероятность того, что капитал компании пробудет в положительной области до наступления парижского разорения как для нулевого начального капитала x, так и для положительного. Тем самым обобщены результаты Dassios, Wu, которые проводили аналогичные подсчеты для случая обычного разорения. Указанная вероятность зависит от 6 параметров. Для нахождения наиболее значимых параметров были подсчитаны индексы Соболя. В частности, оказалось, что x не является значимым параметром, а наиболее значимыми оказались скорость поступления премий, интенсивность входящего потока и средний размер поступающих требований. Исследование моделей страхования и перестрахования с учетом налогов, банковских займов и инвестиций проведено в статье (Bulinskaya, Gusak) в предположении о неполной информации (или отсутствии таковой) относительно выходящего процесса в модели Крамера-Лундберга с дискретным временем. Показано, что использование эмпирических распределений вместо теоретических позволяет найти оптимальное поведение с заданной точностью. Оценка погрешности проводилась с использованием метрики Канторовича-Вассерштейна. Опубликованные и представленные к печати статьи, а также доклады участников гранта свидетельствует, что полученные в ходе выполнения проекта результаты лежат в русле современных исследований и соответствуют мировому уровню, а в некоторых аспектах и опережают его. Участие в научных мероприятиях по тематике Проекта за период, на который предоставлен грант (каждое мероприятие с новой строки, указать названия мероприятий и тип доклада) Профессора Е.Б. Яровая, Л.Г. Афанасьева и Е.В. Булинская в 2018 г. принимали участие с пленарными докладами и организовали ряд приглашенных заседаний на международных конференциях и симпозиумах. Е.Б. Яровая представила пленарный доклад на SMTDA 2018 (Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis International Conference with Demographics Workshop, Ханья, Крит, Греция, 12 июня - 15 октября 2018); входит в научный программный комитет 9-ого Международного симпозиума по прикладной вероятности (International Workshop on Applied Probability, IWAP 2018, Будапешт, Венгрия, 18-21 июня 2018) и организовала три приглашенных заседания, в которых приняли участие ведущие ученые из Франции и США. Е.В. Булинской (входит в програмный комитет) и Е.Б. Яровой организовано заседание на Ninth International Workshop on Simulation (Барселона, Испания, 25-29 июня 2018). Л.Г. Афанасьева, Е.В. Булинская и Е.Б. Яровая являются членами научного комитета и организаторами трех заседаний по направлению ``Асимптотический анализ сложных стохастических систем’’ на 9-ой Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2018-Germeyer100), Москва, Россия, 22-27 октября, 2018 г. 1) 2018 Название доклада: Branching Random Walks on Lattices (Приглашенный) Автор: Yarovaya E. The Twelfth Bachelier Colloquium on Mathematical Finance and Stochastic Calculus, Метабьеф, Франция, 15-20 января 2018 2) 2018 Название доклада: Asymptotic Behavior of Stochastic Particle Systems (Приглашенный) Автор: Yarovaya E. IV Workshop on Branching Processes and their Applications, Испания, Бадахос,, Испания, 10 апреля - 13 апреля 2018 3) 2018 Название доклада: Branching processes and viral epidemic modelling (Приглашенный) Авторы: Yarovaya E., Ermakova E., Makhmutova P. IV Workshop on Branching Processes and their Applications, Испания, Бадахос,, Испания, 10 апреля - 13 апреля 2018 4) 2018 Название доклада: Particle Systems, Non Homogeneous Environments and Large Deviations (Пленарный) Автор: Yarovaya E. Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis International Conference with Demographics Workshop, Ханья, Крит, Греция, 12 июня - 15 октября 2018 5) 2018 Название доклада: Branching Random Walks and their Applications to Population Dynamics (Приглашенный) Автор: Yarovaya E. International Workshop on Applied Probability IWAP 2018, Будапешт, Венгрия, 18-21 июня 2018 6) 2018 Название доклада: On Diffusion Approximation of Branching Processes in Random Envirionment (Приглашенный) Автор: N. Limnios, E. Yarovaya. International Workshop on Applied Probability IWAP 2018, Будапешт, Венгрия, 18-21 июня 2018 7) 2018 Название доклада: Simulation of Branching Random Walks on Multidimensional Lattices (Приглашенный) Авторы: Yarovaya E., Ermishkina E. The Ninth International Workshop on Simulation, Барселона, Испания, 18-21 июня 2018 8) 2018 Название доклада: Branching walks with a finite set of branching sources and pseudo-sources (Пленарный) Автор: Yarovaya E. 9-ая Московская международная конференция по Исследованию операций (ORM2018-Germeyer100), Москва, Россия, 22-27 октября, 2018 г. 9) 2018 Название доклада: Branching Random Walks with Immigration (Устный) Автор: D.Han, Yu.Makarova, S.Molchanov, E.Yarovaya 9-ая Московская международная конференция по Исследованию операций (ORM2018-Germeyer100), Москва, Россия, 22-27 октября, 2018 г. 10) 2018 Название доклада: Stability analysis of queueing systems with various rules of service and regenerative input flow (Приглашенный) Автор: Афанасьева Л.Г. 9-ая международная конференция по приложениям теории вероятностей (IWAP 2018), Будапешт, Венгрия, 18-21 июня, 2018 г. 11) 2018 Название доклада: The estimation of the capacity of the highway intersected by a crosswalk without traffic lights (Устный) Автор: Afanaseva L., Grishunina S. 9-ая Московская международная конференция по Исследованию операций (ORM2018-Germeyer100), Москва, Россия, 22-27 октября, 2018 г. 12) 2018 Название доклада: Stability conditions for constant retrial rate queueing system with a regenerative input flow (Пленарный) Автор: Афанасьева Л.Г. 9-ая Московская международная конференция по Исследованию операций (ORM2018-Germeyer100), Москва, Россия, 22-27 октября, 2018 г. 13) 2018 Название доклада: The estimation of the capacity of the highway intersected by a crosswalk without traffic lights (Устный), Автор: Афанасьева Л.Г., Гриднев М., Гришунина С.А. 9-ая Московская международная конференция по Исследованию операций (ORM2018-Germeyer100), Москва, Россия, 22-27 октября, 2018 г. 14) 2018 Название доклада: Limit behavior of some applied probability models (Приглашенный) Автор: Булинская Е.В. 9th International Workshop on Applied Probability (IWAP 2018), Будапешт, Венгрия, 18-21 июня 2018 15) 2018 Название доклада: The probability of the capital staying above zero long enough in the Cram'er-Lundberg model (Приглашенный) Автор: Bulinskaya E.V., Shigida B. The Ninth International Workshop on Simulation, Barcelona, June 25 - June 29, 2018 16) 2018 Название доклада: Reliability of a Discrete-time System with Investment (Устный) Автор: Булинская Е.В., Колесник А.Д. 21st International Conference Distributed Computer and Communication Network: Control, Computation, Communications (DCCN, Россия, 17-21 сентября 2018 17) 2018 Название доклада: Asymptotic Analysis of Some Applied Probability Systems (Пленарный) Автор: Булинская Е.В. IX Московская международная конференция по Исследованию Операций (ORM2018-Germeyer100), Москва, Россия, 22-27 октября 2018 18) 2018 Название доклада: Phase transitions in supercritical branching random walks (Устный) Автор: Балашова Д.М. 9-ая международная конференция по приложениям теории вероятностей (IWAP 2018), Будапешт, Венгрия, 18-21 июня, 2018 г. 19) 2018 Название доклада: Evolutionary operator for supercritical branching random walk with different branching sources (Устный) Автор: Балашова Д.М. 9-ая Московская международная конференция по Исследованию операций (ORM2018-Germeyer100), Москва, Россия, 22-27 октября, 2018 г. 20) 2018 Название доклада: Знакопеременные интенсивности источников ветвления в ветвящемся случайном блуждании (Устный) Автор: Балашова Д.М. Санкт-Петербургская зимняя молодежная конференция по теории вероятностей и математической физике, Санкт-Петербург, Россия, 24-26 декабря, 2018 г. 21) 2018 Название доклада: Comparison of queueing systems with various rules of service and regenerative input flow (Устный) Автор: Гришунина С.А. 9-ая международная конференция по приложениям теории вероятностей (IWAP 2018), Будапешт, Венгрия, 18-21 июня, 2018 г. 22) 2018 Название доклада: Subcritical branching walks with heavy tails (Устный) Автор: Рытова А.И. 9-ая международная конференция по приложениям теории вероятностей (IWAP 2018), Будапешт, Венгрия, 18-21 июня, 2018 г. 23) 2018 Название доклада: Условия вырождения ветвящегося случайного блуждания с тяжелыми хвостами (Устный) Автор: Рытова А.И. 9-ая Московская международная конференция по Исследованию операций (ORM2018-Germeyer100), Москва, Россия, 22-27 октября, 2018 г. 24) 2018 Название доклада: Ветвящиеся случайные блуждания с иммиграцией и случайным распределением начального поля частиц (Устный) Автор: Макарова Ю.К. Санкт-Петербургская зимняя молодежная конференция по теории вероятностей и математической физике, Санкт-Петербург, Россия, 24-26 декабря, 2018 г. 25) 2018 Название доклада: Infinity-channel queueing system with time-depending intensity of input. Fast and slow growth of the intensity (Устный) Авторы: Баштова Е.Е., Попов А.Б. XXXV Международный семинар по проблемам устойчивости стохастических моделей (ISSPSM, Пермь, Россия, 24-28 сентября 2018) Во всех тезисах докладов дана ссылка на текущий грант.
3 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Большие уклонения и асимптотическое поведение стохастических эволюционных систем и процессов с обновлением
Результаты этапа: Целью проекта явилось исследование асимптотического поведения эволюционных систем и стохастических процессов с обновлением. В ходе реализации проекта исследовано асимптотическое поведения ветвящихся случайных блужданий с непрерывным временем в зависимости от интенсивности и расположения источников генерации их элементов на многомерных решетках, а также от свойств лежащего в основе процесса случайного блуждания. Изучены условия стохастической ограниченности ветвящихся случайных блужданий с докритическим ветвящимся процессом в каждой точке решетки и иммиграцией частиц. Доказаны предельные теоремы о структуре субпопуляции частиц в ветвящихся случайных блужданиях с бесконечным числом начальных частиц я в случае, когда в каждой точке решетки интенсивности гибели частиц равна интенсивности их рождения. Доказаны предельные теоремы о популяциях и субпопуляциях частиц, а также их моментов в ветвящихся случайных блужданиях с различными начальными условиями и тяжелыми хвостами случайного блуждания. Изучены условия кластеризации частиц на многомерных решетках в некоторых моделях ветвящихся случайных блужданий. В проекте получила развитие теория слабо надкритических ветвящихся случайных блужданий. Изучено распространение фронтов в эволюционных системах на многомерных структурах в зависимости от условий перемещения их элементов. Исследован широкий класс систем массового обслуживания с регенерирующим входящим потоком, среди которых системы с ненадежным прибором, с повторными вызовами, с различными правилами образования очередей, а также системы, в которых одному требованию для обслуживания необходимо несколько приборов. Решена проблема определения условий стабильности. Предлагается подход, основанный на построении вспомогательной системы, в которой всегда есть требования для обслуживания, и синхронизации выходящего и входящего регенерирующего потоков. Изучено асимптотическое поведение числа требований в системах в условиях высокой загрузки. Проведен статистический анализ систем и получена оценка коэффициента загрузки и асимптотической дисперсии этой оценки, когда в качестве статистических данных выступает лишь количество требований в системе. Исследовано асимптотическое поведение процессов, описывающих модели страхования и управления запасами (с непрерывным и дискретным временем), и проведена оптимизация, в том числе при неполной информации. Введены и исследованы новые дивидендные стратегии. Выполнен анализ чувствительности моделей к малым флуктуациям параметров и возмущениям процессов. Теоретические результаты проиллюстрированы с помощью численного моделирования. В 2019 г. В 2019 г. исследовано асимптотическое поведение первых моментов в ветвящемся случайном блуждании с иммиграцией, бесконечным числом частиц в начальный момент времени и источниками ветвления в каждой точке решетки при различных предположениях об интенсивностях ветвления и операторе, генерирующем случайное блуждание. Изучены условия устойчивости состояния системы частиц при больших временах. На эту тему опубликована статья Макаровой Ю., Хан Д., Молчанова C. И Яровой E. `` Branching Random Walks with Immigration. Lyapunov Stability’’ в журнале `` Markov Processes and Related Fields’’ (2019 г.). Разработать методы исследования структуры спектра операторов, генерирующих случайное блуждание по многомерной решетке, c нарушением симметрии в конечном числе точек. Доказаны предельные теоремы об асимптотическом поведении надкритического ветвящегося случайного блуждания с несколькими источниками ветвления, имеющими положительную интенсивность, при условии нарушения симметрии блуждания в конечном числе точек. Полученные результаты базируются на статье Христолюбова И. и Яровой Е. `` A Limit Theorem for Supercritical Random Branching Walks with Branching Sources of Varying Intensity'’ (Theory Probab.Appl., 2019). Доказаны предельные теоремы о структуре субпопуляции частиц в ветвящихся случайных блужданиях с бесконечном числом начальных частиц при условии ее невырождения в случае, когда в каждой точке решетки интенсивности гибели частиц равна интенсивности их рождения. Доказаны предельные теоремы о популяциях и субпопуляциях частиц, а также их моментов в ветвящихся случайных блужданиях с различными начальными условиями и тяжелыми хвостами случайного блуждания. Изучены условия кластеризации частиц на многомерных решетках в некоторых моделях ветвящихся случайных блужданий. По этой тематике принята к публикации статья Балашовой Д., Молчанова С., Яровой Е.`` Structure of the particle population for a branching random walk with a critical reproduction law’’ в журнал ``Methodology and Computing in Applied Probability’’ (2020 г.). Доказаны предельные теоремы о временах первого выхода и первого возвращения в начальное состояние в зависимости от конфигурации конечного числа источников ветвления в немарковских моделях ветвящихся случайных (Попов Г. представил результаты в дипломной работе и на конференции ``Ломоносов 2019’’). Для ветвящегося случайного блуждания с непрерывным временем, одним источником генерации частиц и условием на прыжки частиц, приводящим к бесконечной дисперсии скачков случайного блуждания, представлена классификацию моментов численностей частиц, которая исчерпывает все возможные комбинации параметров, отвечающих за тяжесть хвостов случайного блуждания, интенсивность источника ветвления и размерность решетки, см. статью Рытовой А. и Яровой Е. ``Моменты численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании с тяжелыми хвостами’’ (УМН, 2019). Асимптотика вероятности вырождения популяции частиц на всей решетке в зависимости от ее размерности и параметра, отвечающего за свойства блуждания исследована в статье Рытовой А. и Яровой Е. ``Survival Analysis of Particle Populations in Branching Random Walks’’ опубликованной в электронной версии журнала ``Communications in Statistics - Simulation and Computation’’(2019 г.) На основе метода синхронизации получено необходимое и достаточное условие стабильности многоканальной системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком, в которой для обслуживания требования одновременно необходимо несколько приборов и число этих приборов случайно. Данная постановка возникла из приложений при моделировании телекоммуникационных и компьютерных сетей и в настоящее время весьма популярна в литературе. Анализ стабильности опирается на матрично- геометрический подход Ньютса или на так называемый, системно-точечный подход Брилла и Познера. За редким исключением в качестве входящего потока берется пуассоновский, а времена обслуживания экспоненциально распределены. Существуют два класса таких моделей: 1) системы с идентичным обслуживанием, когда требование занимает несколько приборов, но время обслуживания на них одно и то же, хотя и случайно; 2) системы с независимым обслуживанием, когда времена обслуживания на занятых требованием приборах одинаково распределены и независимы. В рамках проекта исследованы модели обоих классов. В качестве распределения времени обслуживания берется фазовое или гиперэкспоненциальное. Устанавливается, что вспомогательный выходящий поток будет сильно регенерирующим, то есть его период регенерации является суммой двух независимых случайных величин, одна из которых имеет экспоненциальное распределение. Это обеспечивает построение общих точек регенерации входящего и вспомогательного выходящего потока, а также построение вычислительного алгоритма для коэффициента загрузки. Оказалось, что при экспоненциальном распределении времени обслуживания полученный результат совпадает с имеющимися в литературе для систем с пуассоновским входящим потоком. Однако, распределение времени обслуживания играет определенную роль, так что коэффициент загрузки не выражается через его среднее значение. Влияние вида распределения времени обслуживания на коэффициент загрузки системы продемонстрировано рядом примеров. Показано, что в двухканальной системе при одинаковом среднем значении времени обслуживания с позиции пропускной способности системы экспоненциальное распределение лучше чем гипоэкспоненциальное и хуже, чем фазовое. Особенно ярко эта зависимость проявляется при постоянном времени обслуживания. Эта система исследована аспиранткой Гришуниной. Насколько нам известно, нет работ, в которых рассматривалась проблема стабильности для систем с одновременным обслуживанием одного требования несколькими приборами с общим типом входящего потока и не экспоненциально распределенным временем обслуживания. Предложенный в проекте метод синхронизации позволяет решить проблему в достаточно общих предположениях. Одна статья опубликована, одна принята к печати (Afanaseva, Bashtova, Grishunina 2019; Afanaseva, Grishunina 2020) Доказаны предельные теоремы для условий стабильности систем с одновременным обслуживанием требования несколькими приборами. Предполагается, что время обслуживания имеет экспоненциальное распределение, общее число приборов растет, а распределение числа требуемых приборов остается неизменно. В дальнейшем будет рассмотрена модель в схеме серий. Установлены условия стабильности для систем с повторными вызовами при регенерирующем входящем потоке и общих предположениях относительно процессов, определяющих моменты повторений вызовов. Доказаны предельные теоремы для числа требований в системе при высокой загрузке. По этой тематике опубликована статья (Афанасьева, 2019). Е.Е. Баштовой рассматривалась бесконечноканальная система, в которой время обслуживания заявок имеет тяжелые хвосты, а интенсивность поступления заявок масштабируется. Исследование было проведено для модели с интенсивностью входящего потока, зависящей от времени. Изучены два варианта масштабирования - условия быстрого и медленного роста интенсивности. Статистический анализ высокоскоростных соединений показывает, что передача данных в сети обладает тремя свойствами: тяжелыми хвостами, масштабированностью и зависимостью от длительного промежутка времени. Традиционные модели массового обслуживания рассматривают независимые интервалы поступления/обработки запросов в систему, как правило имеющее экспоненциальное распределение, что приводит к зависимости только от короткого промежутка времени в прошлом и, следовательно, не подходят для описания передачи данных в сетях. Зависимости от длительного промежутка времени и масштабированность обычно объясняется тяжелыми хвостами времени передачи данных, размеров передаваемых файлов и особенностями передачи пакетов данных. Изучено асимптотическое поведение процесса, описывающего загруженность системы и доказаны предельные теоремы. При этом оказывается, что после центрирования и нормирования периодичность интенсивности входящего потока в условиях быстрого роста интенсивности играет существенную роль, а в условиях медленного роста интенсивности роли не играет. Рассмотрены также системы обслуживания с одним обслуживающим прибором и регенерирующим входящим потоком. Построена состоятельная оценка коэффициента загрузки системы в условиях наблюдения лишь траектории процесса количества требований в системе до момента ухода из системы n-ого поступившего требования. Доказана асимптотическая нормальность полученной оценки, построен доверительный интервал и процедура проверки гипотез. Рассмотрена система с ненадежным прибором, для нее решены те же задачи. Представлена к публикации статья (Баштова, ППИ). Основное направление исследований Булинской в 2019 г. — это изучение асимптотического поведение моделей риска, в том числе многомерных, оптимизация их функционирования с помощью перестрахования, банковских займов и выплаты дивидендов. Начало рассмотрению дивидендов в страховании положила классическая работа de Finetti (1958), это можно считать возникновением стоимостного подхода в актуарной математике. Этот подход активно использовался Булинской с 2003 года. В рамках гранта ей было проведено обобщение и развитие известных ранее моделей и методов. Основное внимание уделено так называемому понятию парижской задержки, которое пришло из теории опционов. Необходимые определения были введены в работе (Dassios, Wu, 2009), которая была обобщена в работе (Bulinskaya, Shigida, 2019). В то время как в работе (Dassios, Wu, 2009) рассматривалась барьерная дивидендная стратегия с парижской задержкой выплат и оптимизировались средние дисконтированные дивиденды до момента разорения, в работе (Bulinskaya, Shigida, 2019) рассматривалась парижская вероятность разорения и было показано, что эта стратегия дает лучший результат с точки зрения акционеров. Все поставленные в проекте задачи выполнены. В ходе работы над проектом в 2019 г. подготовлены две кандидатские диссертации участниками гранта Гришуниной С.А. и Рытовой А.И.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".