Нестационарные процессы в тонкостенных моментных упругих телахНИР

Unsteady processes in thin micropolar elastic bodies

Источник финансирования НИР

грант РНФ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 13 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Нестационарные процессы в тонкостенных моментных упругих телах
Результаты этапа: 1. Вывод основных соотношения нестационарной динамики моментных упругих сред. Доказательство теоремы о кинетической энергии сплошных моментных сред. Вывод физических соотношений формирование замкнутой системы уравнений сплошной моментной упругой среды. Построение Гамильтониана и основного вариационного уравнения сплошной моментной упругой среды. Дана общая система уравнений движения моментной упругой среды. В качестве неизвестных в ней выступают векторы перемещения и независимого угла микроповорота, несимметричные тензоры напряжений и моментных напряжений. Для замыкания системы уравнений к ней нужно добавить определяющие среду физические соотношения. С целью их построения, как следствие этих уравнений, сформулирована теорема о кинетической энергии: полный дифференциал кинетической энергии равен элементарным работам внешних и внутренних сил и моментов. При определении величин кинетической энергии и работ внешних и внутренних сил и моментов естественным образом вводятся понятия тензора деформаций, тензора изгиба-кручения, а также тензоров скоростей деформаций и скоростей изгиба-кручения. Формулируются равенства баланса энергии, следующие из закона сохранения энергии и уравнения притока тепла. Вводится величина внутренней энергии системы как функция определяющих параметров моментной упругой среды, в качестве которых выступают упругие деформации и деформации изгиба-кручения. Из условия баланса внутренней и потенциальной энергий вытекают общие нелинейные физические соотношения для моментной упругой среды. Далее ограничиваемся обычным для линейных моделей квадратичным приближением внутренней энергии в окрестности начального состояния. Это приводит к линейным физическим соотношениям, которые включают три тензора четвертого ранга, компоненты которых являются физическими постоянными анизотропной моментной упругой среды. В результате получена общая замкнутая система уравнений неоднородной анизотропной моментной упругой среды. Получены частные случаи этой системы уравнений для однородной среды и для однородной изотропной среды. Последняя характеризуется шестью независимыми физическими постоянными. С использованием вариационных принципов Гамильтона и Лагранжа и с помощью обобщения теоремы Остроградского-Гаусса построен Гамильтониан и основное вариационное уравнение сплошной моментной упругой среды. 2. Построение кинематических соотношений и компонентов деформированного состояния для моментных упругих оболочек. Построение Гамильтониана и основного вариационного уравнения микрополярной теории тонких упругих оболочек. Рассматривается однородная анизотропная моментная упругая оболочка постоянной толщины, материал которой обладает симметрией относительно ее срединной гладкой ориентированной поверхности с единичным нормальным вектором к внешней стороне. При этом полагается, что оболочка является тонкой. Для поля перемещения используем гипотезу прямой нормали. В результате получаем геометрические соотношения для моментной упругой оболочки в тензорном виде. Далее, с использованием основного вариационного уравнения сплошной моментной упругой среды строим Гамильтониан моментной оболочки. При этом вводятся тензоры тангенциальных усилий и моментов, векторы перерезывающих усилий и дополнительных моментов, нормальное усилие. А также соответствующие тензоры и векторы усилий и моментов, являющиеся следствиями наличия моментных напряжений. Выводим формулы для кинетической энергии моментной оболочки и работы внешних сил. В результате получаем, гамильтониан и основное вариационное уравнение микрополярной теории тонких упругих оболочек. 3. Вывод физического закона микрополярной теории тонких упругих оболочек. Полагаем, что материал оболочки обладает симметрией относительно срединной поверхности. С учетом свойств тензора Леви-Чивита для этого случая получаем физические соотношения моментной упругой среды. С использованием кинематических соотношений для микрополярных оболочек получаем законы изменения напряжений и моментных по толщине оболочки. Использование этих равенств приводит к связи внутренних силовых факторов с кинематическими параметрами оболочки - физическому закону. Показано, что если вектор угла поворота равен нулю и тензор упругих констант симметричен по первой и второй паре индексов, то из полученного физического закона вытекают физические соотношения для анизотропной упругой оболочки без учёта моментных эффектов в материале. Получен частный случай физических соотношений для изотропной микрополярной оболочки. При этом все соотношения получены в тензорной форме. 4. Построение новой общей математической модели для упругих моментных оболочек. Формирование начально-краевых задач для моментной оболочки. С целью построения уравнений движения и граничных условий для моментной оболочки используем полученное основное вариационное уравнение микрополярной теории оболочек для функционала Гамильтона. Далее последовательно находим вариации составляющих функционала Гамильтона. С использованием обобщенной формулы Остроградского-Гаусса для поверхностей и интегрирования по частям получаем вариационное уравнение для моментной оболочки. Отсюда с использованием первой теоремы вариационного исчисления получаем уравнения движения и естественные граничные условия. Построенная система содержит двенадцать уравнений движения. Для ее замыкания добавляем физические и кинематические соотношения. Для постановки начально-краевых задач к указанным уравнениям и граничным условиям добавляем соответствующие начальные условия. Отметим, что, если в полученных уравнениях положить вектор угла поворота равным нулю и тензор напряжений симметричным, то первые четыре уравнения будут совпадать с уравнениями движения классической упругой оболочки. Таким образом, получена общая модель моментной упругой (микрополярной) анизотропной оболочки. Эта модель учитывает сдвиги и инерцию вращения поперечных сечений, а также поперечное обжатие. Как частный случай построенных уравнений и соотношений получена модель изотропной микрополярной оболочки. Также получены упрощённые модели. Первая из них построена в пренебрежении поперечным обжатием оболочки. Вторая упрощённая модель связана с принятием гипотезы Кирхгофа-Лява как для перемещений, так и для угла микроповорота. 5. Дополнительно. Исследованы нестационарные продольные колебания моментного упругого стержня конечной длины. Для описания движения стержня используется система уравнений общей модели моментных упругих тонких тел без дополнительных гипотез. Уравнения этой модели учитывают продольные движения, изменения угла независимого микроповорота, а также поперечное обжатие стержня. Материал стержня полагается однородным и изотропным. Система уравнений движения дополняется физическими соотношениями, которые описывают связи перемещений, изменений углов и поперечного обжатия с усилиями. В отличие от классических моделей в моментном стержне, кроме нормальных усилий, возникают дополнительные силовые факторы. Ими являются: дополнительные моменты, моментные перерезывающие усилия, моменты моментных напряжений. Соответственно, кроме упругих констант материала учитываются дополнительные физические параметры среды, необходимые при учёте моментных эффектов в материале. В качестве граничных условий на торцах стержня используются условия обобщенного шарнирного опирания. Начальные условия полагаются нулевыми. Для построения решения используются разложения искомых функций и внешней нагрузки в тригонометрические ряды Фурье. Подстановка этих разложений в исходные соотношения приводит к системе уравнений относительно коэффициентов рядов, зависящих от времени. Для её решения используется интегральное преобразование Лапласа по времени. В результате найдены выражения для искомых коэффициентов рядов разложений в пространстве изображений. Каждое из этих выражений представляет собой сумму трёх произведений. Сомножителями в этих произведениях являются изображения по Лапласу коэффициентов разложений в ряд Фурье для нагрузки и для функций влияния. Функции влияния являются фундаментальными решениями (функциями Грина) исследуемой задачи. Оригиналы коэффициентов рядов для функций влияния находятся аналитически с помощью вычетов. Окончательные выражения для коэффициентов рядов разложения решений имеют вид свёрток по времени. Ядрами этих интегральных представлений являются оригиналы коэффициентов рядов для функций влияния. В качестве примера рассмотрена реакция моментного упругого стержня на воздействие нестационарной осевой нагрузки. Полученные результаты проиллюстрированы графически. Проведена оценка практической сходимости рядов разложений. 6. Дополнительно. Рассмотрена задача о распространении нестационарных волн в поперечном сечении бесконечного полого цилиндра из вязкоупругого функционально-градиентного материала с немонотонно изменяющимися вдоль радиуса свойствами. Цилиндр заменен кусочно- однородным с большим количеством коаксиальных однородных слоев, аппроксимирующих свойства исходного материала. На основе построенного ранее решения для слоистого цилиндра исследованы волновые процессы в цилиндре из вязкоупругого функционально-градиентного материала с разными видами неоднородностей немонотонного характера. При непрерывной функции внешней нагрузки подтверждена правомерность использования метода аппроксимации функционально-градиентного материала слоистой структурой в нестационарных динамических задачах рассматриваемого типа. Предложенный подход позволил впервые промоделировать распространение нестационарных волн в вязкоупругих функционально-градиентных материалов с немонотонной зависимостью их физико-механических параметров от координат. Исследованы нестационарные динамические процессы в поперечном сечении полого бесконечного цилиндра из вязкоупругого функционально-градиентного материала при немонотонном изменении его свойств в радиальном направлении. Проведено сравнение характеристик переходных волновых процессов при разных вариантах такого изменения, а также их сопоставление с соответствующими характеристиками для трехслойного и однородного цилиндров. Показано преимущество функционально-градиентного материала перед трехслойным композитом, а также однородным материалом при нестационарном радиальном нагружении полости цилиндра. Продемонстрировано влияние на нестационарный процесс вязкости материалов. 7. Дополнительно. Исследован процесс роста трещины в надрезанной пластине из хрупкого материала при нагружении растягивающими усилиями. Метод решения задачи построен на использовании перспективного численного «бессеточного метода». Для оценки точности предложенного метода была решена задача с известным аналитическим решением - оценка распределения напряжений в окрестности вершины трещины (соотношения Колосова), показавшая хорошее согласование результатов численного и аналитического решений. Решение задачи получено с помощью авторского программного комплекса, реализованного на базе предложенного метода. Полученные результаты позволяют проследить в динамике картину распространения трещины в пластине и сравнить с известными экспериментальными данными. 8. Дополнительно. Разработан метод построения нестационарной функции нормальных перемещений в тонкой цилиндрической оболочке постоянной толщины с произвольно расположенными локальными опорами. Локальные опоры представляют собой точечные граничные условия для жесткой заделки либо для шарнирной опоры. В начальный момент времени оболочка находится в невозмущенном состоянии, затем на внешнюю поверхность оболочки по нормали воздействует мгновенно приложенная сосредоточенная нагрузка с переменной во времени амплитудой, математически описываемая с помощью дельта-функций Дирака. Движение оболочки рассматривается в цилиндрической системе координат, связанной с осью оболочки. В качестве модели оболочки приняты гипотезы Кирхгофа – Лява. В зависимости от координаты воздействия нагрузки рассматривается внутренняя или внешняя область «замкнутого» контура опор оболочки. Постановка задачи включает в себя уравнения движения упругой оболочки Кирхгофа – Лява, соответствующие геометрические и физические соотношения с учетом симметрии свойств материала, начальные и граничные условия. Подход к решению основан на использовании метода функции Грина и метода компенсирующих нагрузок. Для каждой локальной опоры вводятся три сосредоточенные компенсирующие нагрузки. Функция нестационарных нормальных перемещений есть сумма интегральных операторов сверток функции Грина для неограниченной оболочки с функциями действующей нестационарной нагрузки и с компенсирующими нагрузками из точечных граничных условий. Амплитуды компенсирующих нагрузок определяются из системы интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода с разностным ядром, которая вытекает из подстановки в граничные условия. Решение системы строиться с помощью дискретизации амплитуд компенсирующих нагрузок по времени. Интегралы сверток при рассматриваемом виде нагрузки берутся аналитически. Выбор параметров численного интегрирования для функции Грина и дискретизации по времени осуществляется на основе анализа сходимости функции по непрерывной норме с заданной точностью.
2 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Нестационарные процессы в тонкостенных моментных упругих телах
Результаты этапа: В рамках реализации проекта «Нестационарные процессы в тонкостенных моментных упругих телах» за отчетный период выполнены масштабные исследования, направленные на развитие аналитических и численных методов для анализа сложных динамических процессов в упругих конструкциях, а также интеграцию современных подходов, таких как методы глубокого машинного обучения. Все поставленные задачи были выполнены в полном объеме. ________________________________________ Основные выполненные работы и достижения 1. Разработка математических моделей 1.1. Построены замкнутые математические модели для описания нестационарной динамики моментных упругих пластин, стержней и оболочек. Эти модели включают: • Учет микрополярных свойств материалов, позволяющий моделировать вращательные степени свободы и сложные механические взаимодействия. • Уравнения движения, сформулированные в тензорной форме, что обеспечивает их универсальность и удобство применения в различных системах координат. 1.2. Разработаны модели для анизотропных и изотропных материалов: • Впервые представлены физические соотношения для моментных упругих сред с учетом микроповоротов. • Построены частные случаи для упрощенных моделей изотропных материалов, что облегчает их практическое применение. 1.3. Для оболочек выполнен переход к вариационным принципам. На основе принципа Гамильтона сформулированы основные уравнения для тонких моментных оболочек с произвольными свойствами материалов. ________________________________________ 2. Решение начально-краевых задач 2.1. Разработаны аналитические методы решения задач, основанные на использовании: • Интегральных преобразований Фурье и Лапласа для анализа динамических процессов. • Разложений в ряды по собственным функциям для точного моделирования граничных эффектов. 2.2. Применение методов позволило: • Решить задачи о нестационарных колебаниях пластин и стержней под различными нагрузками. • Исследовать распространение волн в цилиндрах из функционально-градиентных материалов с немонотонными свойствами. ________________________________________ 3. Применение методов глубокого машинного обучения 3.1. Использованы физически информированные нейронные сети (PINNs) для решения задач механики. Этот подход позволил: • Учитывать сложные нелинейные эффекты и сложные граничные условия. • Обеспечить высокую точность моделирования при значительном сокращении вычислительных затрат. 3.2. Применение PINNs подтвердило их эффективность для анализа задач с высокими требованиями к точности, включая динамические процессы в моментных оболочках и стержнях. ________________________________________ 4. Практические исследования 4.1. Проведено моделирование нестационарных процессов: • Реакции тонкостенных конструкций на различные типы нагрузок (сосредоточенные и распределенные). • Влияния физико-механических характеристик материалов на динамическое поведение конструкций. 4.2. Получены графические зависимости для динамических процессов, включая распределение напряжений, деформаций и волн в исследуемых системах. ________________________________________ Полученные научные результаты Научные достижения: • Разработаны новые аналитические модели, учитывающие моментные эффекты, поперечное обжатие и вращательные степени свободы. • Построены алгоритмы решения задач динамики, позволяющие точно описывать сложные процессы. Практическая значимость: • Полученные результаты применимы для анализа и проектирования тонкостенных конструкций в авиационной и космической технике, машиностроении и строительстве. • Интеграция машинного обучения открывает новые возможности для прогнозирования поведения материалов и оптимизации конструкций. Публикационная активность: • Результаты проекта опубликованы в высокорейтинговых журналах (Q1, Q2, RSCI). • Выступления на ведущих международных и российских научных конференциях позволили представить достижения проекта научному сообществу.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".