ИСТИНА

Целью проекта является изучение процессов распространения нестационарных волн в линейно-вязкоупругих однородных и неоднородных телах, свойства материала которых описываются линейными интегральными соотношениями Больцмана-Вольтерра, в широком диапазоне изменения параметров ядер в этих соотношениях, а также характеристик неоднородностей материала и внешних воздействий. Для достижения этой цели предусматривается разработка и применение аналитических и численно-аналитических методов решения начально-краевых задач вязкоупругости, а также построение новых решений задач такого класса для однородных и кусочно-однородных тел.

Viscoelastic materials are widely used in aviation, rocket and space, construction, medical equipment, as well as in other areas of modern production. Composites with viscoelastic homogeneous components and functionally gradient materials are increasingly used. This determines the increased interest in the study of the behavior of such materials under various external influences, including non-stationary dynamic ones. The study of the propagation of unsteady waves in viscoelastic bodies is very important, however, it is also the most difficult for objects of this kind. Therefore, despite the well-known achievements in the field under consideration, many issues still require the attention of researchers. This primarily relates to the study of unsteady waves in homogeneous viscoelastic materials with a time-dependent Poisson's ratio, as well as in inhomogeneous materials, which confirms the relevance of the topic of this project. The aim of the project is to study the processes of propagation of unsteady waves in linear-viscoelastic homogeneous and inhomogeneous bodies whose material properties are described by linear integral Boltzmann-Volterra relations, in a wide range of changes in the parameters of the nuclei in these ratios, as well as the characteristics of inhomogeneities of the material and external influences. An important direction in the field under consideration, which was chosen within the framework of the project topic, is the development and application of analytical and numerical-analytical methods for solving initial boundary value problems of viscoelasticity. In the course of the project, new solutions to problems of this class for homogeneous and piecewise homogeneous bodies will be built. As the basis of the developed methods will be used: integral Laplace transformation in time, Fourier series expansions, contour integration methods, asymptotic analysis and iteration methods. The scientific novelty of the expected results of the project is as follows. 1.Methods of constructing solutions to nonstationary dynamic problems of viscoelasticity will be developed and brought to a qualitatively new level. In the case of hereditary kernels in the form of a finite sum of exponentials, this means a significant and fundamental refinement and modification of the author's method of searching on the complex plane for elements of a spectral set with a time-dependent Poisson's ratio in order to further use these elements to solve non-stationary dynamic problems. In the case of hereditary kernels of a general type, a general representation of solutions to non-stationary problems will be obtained in a new form convenient for calculations. Along the way, a method will be developed to accelerate the convergence of integrals and series involved in the representation of solutions to problems of the class under consideration. 2. Based on the developed and improved methods, new solutions of initial boundary value problems of viscoelasticity for homogeneous and piecewise homogeneous bodies will be constructed and transient wave processes in viscoelastic materials with different types of viscoelastic nuclei characterizing hereditary properties will be investigated. 3. At a qualitatively new level, the previously conducted studies of the unsteady dynamics of viscoelastic functional gradient materials, the study of the influence on transient wave processes of both hereditary properties and various types of continuous inhomogeneities of such materials will be continued. The scientific significance of the expected fundamental results of the project consists in the development of analytical and numerical-analytical research methods in the dynamic theory of viscoelasticity and the deepening of knowledge about unsteady wave processes in viscoelastic media. The practical significance of the results lies in the possibility of applying the developed methods to analyze the unsteady dynamic behavior of elements of technical structures, protective coatings, as well as geological, medical and other objects with viscoelastic properties.

Общий план работы на весь срок выполнения проекта В первый год 1. Развитие и принципиальная модификация авторского метода поиска на комплексной плоскости собственных значений спектральных задач о свободных колебаниях вязкоупругих однородных тел при зависящем от времени коэффициенте Пуассона материала с целью дальнейшего использования этих значений для решения нестационарных динамических задач с конечной областью распространения возмущений. 2. Распространение метода поиска собственных значений задач о свободных колебаниях рассматриваемого класса на кусочно-однородные тела. 3. Разработка нового подхода к исследованию нестационарных динамических задач вязкоупругости для случая наследственных ядер общего вида: - построение новой общей формы решений нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости. - разработка метода ускорения сходимости интегралов и рядов, участвующих в представлении решений задач рассматриваемого класса. 4. Апробация разработанных методов на ряде тестовых динамических задач линейной вязкоупругости с зависящим от времени коэффициентом Пуассона. 5. Опубликование результатов выполнения проекта в виде 1 статьи, индексируемой в базе данных Scopus (или Web of Science Core Collection) и 1 статьи, индексируемой в RSCI. 6. Выступление с докладами на научных мероприятиях по результатам выполнения проекта Во второй год 1. С помощью разработанных методов построение новых решений ряда начально-краевых задач вязкоупругости с переменным во времени коэффициентом Пуассона для однородных и кусочно-однородных тел. 2. На основе построенных решений и специально разработанных алгоритмов и программ их численной реализации проведение исследований переходных волновых процессов в однородных и кусочно-однородных вязкоупругих телах с разными типами вязкоупругих ядер, характеризующих наследственные свойства материалов. Продолжение на более глубоком уровне изучения вопроса о том, насколько существенно тип наследственных ядер влияет на переходные волновые процессы. 3. Продолжение (на более глубоком уровне) начатые ранее исследования нестационарной динамики вязкоупругих функционально-градиентных материалов (ФГМ), изучение влияния на переходные волновые процессы как наследственных свойств, так и разного вида непрерывных неоднородностей таких материалов. Изучение вопроса о том, насколько существенно влияют на переходные волновые процессы отклонения свойств ФГМ от изначально заданных. 4. Исследование влияния однородных и функционально-градиентных вязкоупругих покрытий на нестационарные волновые процессы в упругих материалах с такими покрытиями при импульсных внешних воздействиях в диапазоне времени от начального момента до практически полного затухания возмущений 5. Опубликование результатов выполнения проекта в виде 1 статьи, индексируемой в базе данных Scopus (или Web of Science Core Collection) и 2 статей, индексируемой в RSCI. 6. Выступление с докладами на научных мероприятиях по результатам выполнения проекта

1. Предложен метод построения решений нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости. Установлена связь между решением нестационарной динамической задачи и решением задачи о свободных колебаниях вязкоупругого тела. При регулярных наследственных ядрах в виде конечной суммы экспонент процесс построения решения нестационарной задачи вязкоупругости сведен к поиску элементов спектрального множества задачи о свободных колебаниях. В случае, когда коэффициент Пуассона материала не зависит от времени, математически обоснован алгоритм отыскания элементов спектрального множества на комплексной плоскости и даны формы представления решений нестационарных динамических задач вязкоупругости для однородных и кусочно-однородных тел. 2. С помощью разработанных методов построены решения ряда задач о распространении нестационарных волн в однородных и кусочно-однородных вязкоупругих телах с цилиндрическими и плоскими границами в одномерной постановке. На основе построенных решений проведено исследование переходных волновых процессов в указанных телах при конкретных исходных данных. 3. Предложен метод исследования нестационарных динамических задач для тел, состоящих из вязкоупругого функционально-градиентного материала. Проведены исследования одномерных переходных волновых процессов в телах из такого материала при конкретных видах неоднородностей. 4. Исследован ряд нестационарных динамических задач с неограниченной областью распространения возмущений. Построены решения для однородной вязкоупругой полуплоскости в случае регулярного экспоненциального наследственного ядра, а также ядер из класса функций типа Миттаг-Леффлера. 5. Исследовано влияние наследственных свойств материала на переходные волновые процессы в вязкоупругих цилиндрических оболочках

В процессе реализации проекта будут получены следующие результаты. 1. Получат развитие до качественно нового уровня методы построения решений нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости для однородных и неоднородных тел при зависящем от времени коэффициенте Пуассона. Это предполагает: - в случае регулярных наследственных ядер материала в виде суммы экспонент будет существенно доработан и модифицирован авторский метод поиска на комплексной плоскости элементов спектрального множества задач о свободных колебаниях вязкоупругих тел с целью дальнейшего использования этих элементов для решения нестационарных динамических задач; - в случае наследственных ядер общего вида будет получена новая форма представления решений нестационарных задач, удобная для проведения расчетов; - будет разработан метод ускорения сходимости интегралов и рядов, участвующих в представлении решений задач рассматриваемого класса, что является весьма важным для численной реализации аналитических решений при исследовании волновых процессов. 2. С помощью разработанных и усовершенствованных методов будут построены новые решения начально-краевых задач вязкоупругости для однородных и кусочно-однородных тел. Их достоинствами будут являться: - удобство проведения на их основе вычислений при конкретных исходных данных; - справедливость во всем диапазоне изменения времени от начального момента; - отсутствие требования малости вязкости; - возможность использовать определяющие соотношения линейной вязкоупругости, соответствующие материалам широкого класса. 3. На основе построенных решений будут исследованы переходные волновые процессы в однородных и кусочно- однородных вязкоупругих телах с разными типами вязкоупругих ядер, характеризующих наследственные свойства материалов. 4. Будут получены новые результаты в области нестационарной динамики вязкоупругих функционально-градиентных материалов, касающиеся влияния на переходные волновые процессы как наследственных свойств, так и разного вида непрерывных неоднородностей таких материалов. 5. Будет проведен анализ влияния вязкоупругих однородных и функционально-градиентных покрытий на нестационарные волновые процессы в упругих материалах при импульсных внешних воздействиях в диапазоне времени от начального момента до практически полного затухания возмущений. Все ожидаемые научные результаты проекта являются новыми, соответствуют мировому уровню современной науки и находятся на переднем крае мировых достижений в рассматриваемой области. Они окажут существенное влияние на развитие механики деформируемого твердого тела и послужат основой нового научного направления в области исследования волновых процессов в материалах, проявляющих наследственные свойства.