ИСТИНА

В последние годы экстремальные и аппроксимационные задачи – направления исследований в теории функций и функциональном анализе, которым планируется посвятить проект, находят все новые приложения, важные как для практики, так и для других направлений математики. К примеру, оказалось, что понятие поперечника множества в линейном метрическом пространстве, введенное в теорию аппроксимации А.Н. Колмогоровым еще в 1936 году, играет фундаментальную роль в компьютерных науках, где оно под другим названием (жесткость матриц) исследуется для случая метрики Хемминга. К настоящему времени поперечники по Колмогорову исследованы достаточно полно, оценки этих величин внедрены в практику. В частности, эти оценки лежат в основе «сжатых измерений» (compressed sensing) – современного метода обработки сигналов, получившего широкое распространение. Однако бурное развитие нейронных сетей приводит к новым постановкам задач теории аппроксимации, которые исследованы слабо. Даже для функций простой структуры во многих случаях отсутствуют теоретические результаты о возможности построения устойчивых, эффективных алгоритмов их приближения посредством нейронных сетей. Проект нацелен, в частности, на систематическое исследование этой темы. Кроме того, планируется изучить аппроксимационные задачи и алгоритмы, возникающие в практических вопросах федеративного обучения (federated learning). Здесь уже нашли применение полученные участниками проекта результаты из функционального анализа о свойствах конечномерных выпуклых тел. Другая тема проекта представляет интерес для эффективного моделирования многомерных поверхностей и связана сразработкой нового аппарата приближения и интерполяции функций нескольких переменных. Речь идет о многомерном, матричном обобщении классических систем всплесков (wavelets), при котором аппроксимация и интерполяция осуществляется линейными комбинациями функций с носителем фрактальной структуры. В качестве еще одного аппарата приближения планируется исследовать свойства полугрупп общего вида, порожденных подмножествами гильбертова пространства. В рамках проекта планируется также продолжить исследование классической тематики – общих ортогональных рядов и рядов по классическим ортонормированным системам. Планируется рассмотреть задачи об эффективной дискретизации полиномов по общим ортогональным системам и решить ряд экстремальных задач, возникающих в теории тригонометрических рядов и преобразований Фурье. Это направление исследований, имеющее, казалось бы, чисто теоретический характер, находит сегодня приложения в алгоритмических вопросах дискретной математики и, одновременно, важно для развития самой теории функций. Еще один круг вопросов, планируемый для изучения в рамках проекта, связан с исследованием экстремальных задач на классах аналитических в области функций с заданными неподвижными точками. Неподвижные точки играют ключевую роль в голоморфной динамике, список приложений которой в последнее время значительно расширился. Классические задачи о точных областях однолистности и однолистного покрытия, а также о коэффициентах степенных разложений будут рассмотрены в новых постановках, полезных для практики, и позволят получить новые знания о самих аналитических функциях.

In the recent years, extremal and approximation problems, a line of research in theory of functions and functional analysis that the project is devoted to, have gained more and more applications that are important both for the practical purposes and for other areas of Mathematics. For instance, it turned out that the notion of Kolmogorov width of a set in a linear metric space, introduced by A.N. Kolmogorov in 1936, plays a key role in computer sciences where it is studied for the case of the Hamming metric as rigidity of matrices. Kolmogorov widths have so far been well studied and their estimates have been put into practice. In particular, these estimates are fundamental for compressed sensing, a modern method of signal processing which is widely used. However, the rapid development of neural networks brings us new problem settings that are hardly studied. Even for functions with a simple structure, in many cases there is no theoretical result concerning possibility of construction of stable, efficient approximation algorithms by neural networks. The project is particularly aimed at systematic study of this topic. Besides, it is planned to investigate approximation problems and algorithms that arise in the practical aspects of federated learning. In this regard, results in functional analysis concerning the properties of multidimensional convex bodies, obtained by the participants of the project, have already found applications. Another topic of the project, which is of interest for efficient modeling of multidimensional surfaces, is connected to development of a new machinery for approximation and interpolation of functions in several variables. This is about multidimensional matrix generalization of the classical wavelets systems such that approximation and interpolation is realized by linear combinations of the functions with supports having a fractal structure. As another way of approximation, it is planned to investigate the properties of general semigroups generated by subsets of a Hilbert space. As a part of the project, it is expected also to continue studying the classical topic on general orthogonal series and series in classical orthonormal systems. It is planned to consider the problems of efficient discretization of polynomials in general orthogonal systems and solve several extremal problems in theory of trigonometric series and Fourier transform. This line of research, although it seems to be purely theoretical, finds nowadays applications in the theory of algorithms in discrete Mathematics and is important as well for the development of the theory of functions. Another range of questions that are supposed to be studied in the project lies in investigating extremal problems for the class of analytic functions on a domain with prescribed fixed points. Fixed points are a crucial object in holomorphic dynamics that has gained much more applications recently. The classical problems on sharp domains of univalence and univalent coverage, as well as those on the coefficients of the power expansions, will be considered in new settings that are of importance for practice and lead to new knowledge regarding analytic functions.