ИСТИНА

Проект посвящен изучению метрических и контактных структур, возникающих в оптимизационных задачах дискретной геометрии и геометрии нелинейных дифференциальных уравнений. Проект состоит из двух частей. Первая его часть посвящена развитию методов метрической геометрии для изучения гиперпространств – метрических пространств, точками которых являются подмножества некоторого фиксированного пространства. Одними из первых геометрию гиперпространств подмножеств метрического пространства начали изучать Феликс Хаусдорф и Вильгельм Бляшке, которые независимо друг от друга ввели в рассмотрение функцию расстояния между подмножествами метрического пространства X, которая теперь называется расстоянием Хаусдорфа. В работах Михаила Громова расстояние Хаусдорфа было обобщено на случай произвольных метрических пространств. Полученная в результате функция расстояния получила название расстояния Громова-Хаусдорфа. На этом пути возможно как получение новых результатов о геометрии гиперпространств, так и построение алгоритмов вычисления расстояний Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа между двумя кончеными множествами, а также алгоритмов построения кратчайших кривых, соединяющих эти множества. Полученные результаты могут быть использованы в задачах сравнения и распознавания образов и/или сложных трехмерных объектов, возникающих, например, в 3D-дизайне или в молекулярной биологии. Вторая часть проекта посвящена развитию методов метрической и контактной геометрии в теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Геометрическая теория дифференциальных уравнений восходит к работам Софуса Ли, Гастона Дарбу, Эли Картана. Ими был создан математический аппарат, позволяющий рассматривать дифференциальные уравнения как геометрические объекты. В частности, была разработана теория непрерывных групп преобразований, теория внешних форм, теория симметрий и теория контактных преобразований. Формализации геометрического подхода к дифференциальным уравнениям способствовали работы Шарля Эресманна, который ввёл (для нужд дифференциальной геометрии, а не дифференциальных уравнений) понятие пространства джетов, а также Александра Виноградова, который стал рассматривать дифференциальные уравнения как геометрические объекты на этих пространствах. При таком подходе отчетливо проявилась важность контактной геометрии: на пространстве 1-джетов естественным образом возникает контактная структура, порожденная распределением Картана. Это распределение играет важную роль и в пространствах джетов более высоких порядков. Виноградовым было введено понятие многозначных решений, что сделало возможным применение теории особенностей к изучению решений. Многозначные решения играют важную роль при построении разрывных решений типа ударных волн. Геометрический подход к широкому классу уравнений второго порядка был развит в работах Валентина Лычагина. Он показал, что такие уравнения можно рассматривать как поле дифференциальных форм на пространстве 1-джетов, что позволило применять методы контактной геометрии и теории внешних форм Картана. В работах одного из участников данного проекта (А.Г. Кушнера) для таких уравнений построены дифференциальные инварианты, позволившие решить проблему Софуса Ли контактной линеаризации. Эти результаты получили развитие в работах другого участника проекта (С.С. Мухиной), в которых были рассмотрены задачи фильтрации нефти в пористых средах. В данном проекте будут построены метрические структуры и другие тензорные инварианты, ассоциированные с дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка. Наличие римановых структур на пятимерном контактном многообразии 1-джетов и на четырехмерном симплектическом многообразии открывает возможность применения методов метрической геометрии для дальнейшего изучения нелинейных дифференциальных уравнений.

The project is devoted to the study of metric and contact structures that arise in optimization problems of discrete geometry and the geometry of nonlinear differential equations. The project consists of two parts. Its first part is devoted to the development of methods of metric geometry for the study of hyperspaces - metric spaces whose points are subsets of some fixed space. Felix Hausdorff and Wilhelm Blaschke were among the first to study the geometry of hyperspaces of subsets of a metric space, who independently introduced into consideration the distance function between subsets of a metric space, which is now called the Hausdorff distance. In the works of Mikhail Gromov, the Hausdorff distance was generalized to the case of arbitrary metric spaces. The resulting distance function is called the Gromov-Hausdorff distance. The second part of the project is devoted to the development of methods of metric and contact geometry in the theory of nonlinear partial differential equations. The geometric theory of differential equations dates back to the works of Sophus Lie, Gaston Darboux, and Elie Cartan. They created a mathematical apparatus that allows one to consider differential equations as geometric objects. In particular, the theory of continuous transformation groups, the theory of differential forms, the theory of symmetries and the theory of contact transformations were developed. The formalization of the geometric approach to differential equations was facilitated by the work of Charles Ehresmann, who introduced (for the needs of differential geometry, rather than differential equations) the concept of the space of jets, as well as Alexander Vinogradov, who began to consider differential equations as geometric objects on these spaces. With this approach, the importance of contact geometry clearly emerged: in the space of 1-jet, a contact structure generated by the Cartan distribution naturally appears. This distribution also plays an important role in jet spaces of higher orders. Vinogradov introduced the concept of multivalued solutions, which made it possible to apply the theory of singularities to the study of solutions. Multivalued solutions play an important role in the construction of discontinuous solutions such as shock waves. The geometric approach to a wide class of second-order equations was developed in the works of Valentin Lychagin. He showed that such equations can be considered as a field of differential forms on the space of 1-jet, which made it possible to apply the methods of contact geometry and Cartan's theory of differential forms. In the works of one of the participants in this project (A.G. Kushner), differential invariants were constructed for such equations, which made it possible to solve the Sophus Lie problem of contact linearization. These results were developed in the works of another project participant (S.S. Mukhina), in which the problems of oil filtration in porous media were considered. This research will be continued in this project. Namely, metric structures and other tensor invariants associated with second-order partial differential equations will be constructed. The presence of Riemannian structures on the five-dimensional contact manifold of 1-jet and on the four-dimensional symplectic manifold opens up the possibility of using metric geometry methods for further study of nonlinear differential equations.

Будут получены следующие результаты. - Будут найдены новые приложения расстояния Громова-Хаусдорфа в теории графов и вычислительной геометрии. - Будут найдены новые пары метрических пространств, соединяемых линейными геодезическим в классе Громова-Хаусдорфа. - Для гиперболических уравнений в частных производных второго порядка будет разработана методика вычисления тензорных инвариантов типа кручений относительно контактных и симплектических преобразований этих уравнений. Эта методика будет основана на свойствах характеристических распределений таких уравнений. Для симплектических уравнений существуют симплектическая структура на кокасательном расслоении и два двумерных косоортогональных характеристических распределения. Для общих уравнений (контактный случай) в пространстве 1-джетов симплектической структуры в классическом понимании не существует, но существуют "неголономные" симплектические структуры, т.е. структуры, определенные на неинтегрируемом распреелении Картана. Но, тем не менее, и в том и в другом случае можно построить тензорные инварианты уравнений и билинейные формы, инвариантные относительно симплектических или контактных преобразований. Первый этап проекта будет направлен на решение этих задач. Во время второго этапа описанные идеи будут распространены на системы двух гиперболических дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Будут построены их тензорные инварианты относительно замен независимых и зависимых переменных. Для таких систем также существуют два характеристических распределения, но уже не на пространстве 1-джетов, а на 4-хмерном пространстве, координатами которого являются две независимых и две зависимых переменных. Для таких систем также будут построены тензорные инварианты. - Вычисление конкретных расстояний Липшица между облаками в классе Громова-Хаусдорфа. - Применение построенных тензорных инвариантов и других геометрических структур для классификации дифференциальных уравнений и разработки новых методов их решений (аналитических и численных).

- Доказана строгая внутренность метрики для любых компактных метрических пространств (Иванов, Илиадис, Николаева, Тужилин, 2015, 2016). - Доказана изометричная вложимость произвольного конечного метрического пространства в пространство Громова-Хаусдорфа (Иванов, Илиадис, Тужилин) и вложимость произвольного ограниченного пространства в метрический класс Громова-Хаусдорфа (Иванов, Тужилин). - Получен ряд результатов о существовании и не существовании продолжения кратчайшей кривой (Борзов, Иванов, Тужилин), о линейной связности сфер в пространстве Громова-Хаусдорфа (Иванов, Тужилин, Цветников). - Решены некоторые оптимизационные задачи дискретной геометрии. - Методы метрической геометрии применялись для моделирования движения сплошных сред с внутренней (молекулярной) структурой (Кушнер, Лычагин) - Для невырожденных (гиперболических и эллиптических) уравнений типа Монжа-Ампера общего типа на двумерных многообразиях построены е-структуры, позволяющие решать задачу симплектической эквивалентности (Кушнер). - Для невырожденных уравнений типа Монжа-Ампера построены полные аналоги (частичных) функциональных инвариантов Лапласа. Тем самым, решена задача контактной эквивалентности линейным уравнениям с постоянными коэффициентами, а именно волновому уравнению и уравнению Лапласа (Кушнер, 2008). - Построенные инварианты применены для построения точных решений нелинейных уравнений фильтрации в пористых средах и исследования процесса возникновения пробок в окрестности призабойных скважин нефтяных месторождений (Кушнер, Мухина, 2021-2022) . - Для уравнений Монжа-Ампера переменного типа решена задача симплектической эквивалентности линейным уравнениям Трикоми (Кушнер). - Методами контактной и симплектической геометрий была решена задача оптимального (в смысле максимизации работы) управления термодинамическим состоянием идеального газа (Кушнер, Лычагин, Рооп).

Будут получены следующие результаты. - Будут найдены новые приложения расстояния Громова-Хаусдорфа в теории графов и вычислительной геометрии. - Будут найдены новые пары метрических пространств, соединяемых линейными геодезическим в классе Громова-Хаусдорфа. - Для гиперболических уравнений в частных производных второго порядка будет разработана методика вычисления тензорных инвариантов типа кручений относительно контактных и симплектических преобразований этих уравнений. Эта методика будет основана на свойствах характеристических распределений таких уравнений. Для симплектических уравнений существуют симплектическая структура на кокасательном расслоении и два двумерных косоортогональных характеристических распределения. Для общих уравнений (контактный случай) в пространстве 1-джетов симплектической структуры в классическом понимании не существует, но существуют "неголономные" симплектические структуры, т.е. структуры, определенные на неинтегрируемом распреелении Картана. Но, тем не менее, и в том и в другом случае можно построить тензорные инварианты уравнений и билинейные формы, инвариантные относительно симплектических или контактных преобразований. Первый этап проекта будет направлен на решение этих задач. Во время второго этапа описанные идеи будут распространены на системы двух гиперболических дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Будут построены их тензорные инварианты относительно замен независимых и зависимых переменных. Для таких систем также существуют два характеристических распределения, но уже не на пространстве 1-джетов, а на 4-хмерном пространстве, координатами которого являются две независимых и две зависимых переменных. Для таких систем также будут построены тензорные инварианты. - Вычисление конкретных расстояний Липшица между облаками в классе Громова-Хаусдорфа. - Применение построенных тензорных инвариантов и других геометрических структур для классификации дифференциальных уравнений и разработки новых методов их решений (аналитических и численных).