ИСТИНА

Целью настоящего проекта является разработка математических методов, направленных на исследование новых уравнений гиперболического и параболического типов, описывающих физические процессы в задачах нелинейной оптики, акустики, полимеров и биофизических объектов. В течение трех лет планируется рассмотреть следующие задачи. 1. Развитие метода построения модификаций нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, с сохранением свойства интегрируемости. В рамках этой задачи будут получены новые обобщения нелинейных интегрируемых уравнений, которые имеют физические приложения и обладают многосолитонными решениями. Это позволит выявить новые особенности нелинейной динамики солитонов в задачах когерентной оптики и нелинейной акустики. 2. Формирование и распространение пространственно-временных солитонов – так называемых, световых пуль. Изучение таких физических явлений является весьма актуальным для задач зондирования, спектроскопии и создания устройств обработки информации оптическими методами. Рассматриваемые пространственно-временные процессы описываются системами связанных квазиоптических уравнений в частных производных, содержащими как линейные, так и нелинейные слагаемые, соответствующие различным физическим факторам. Данные системы решаются в (1+1)D, (2+1)D,(3+1)D пространстве. Основным подходом является использование вариационных методов, которые необходимо развивать и модифицировать при применении к новым нелинейным задачам. В частности, для реализации таких методов следует вывести лагранжиан системы и определить пробные решения, которые весьма чувствительны к конкретной математической модели. Такой подход хорошо зарекомендовал себя в задачах получения аналитических солитонных решений. Все получаемые решения будут аналитически исследованы на устойчивость. В рамках этой задачи будут разработаны новые поэтапные итерационные методы для получения решения нелинейных консервативных разностных схем, применение которых сократит временные затраты на проведение компьютерных расчетов. 3. Разработка математических консервативных и диссипативных моделей и методов их анализа для исследования нелинейных волн в биофизических системах различного уровня организации. При выводе модельных уравнений будут использованы известные приближения, обусловленные особенностями конкретной задачи. Большинство полимерных молекул можно описывать с помощью гамильтонианов дискретных нелинейных цепочек, большинство которых будут эффективно одномерными. В ходе работы предполагается рассмотреть модельные уравнения двух типов: континуальные и дискретные по пространственным координатам. Рассматриваемые в проекте дискретные системы, как правило, являются неинтегрируемыми, поэтому их детальный анализ требует проведения численных расчетов. 4. Развитие приближенных аналитических методов исследования нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих распространение оптических импульсов. Единого подхода к решению нелинейных уравнений не существует. По этой причине особую ценность представляют методы, которые можно использовать для исследования определенного класса физических задач, описываемых такими уравнениями. В частности, в рамках заявленного исследования нами будет предложен новый метод, позволяющий описать распространение импульсов, начальный профиль которых описывается супергауссовой или близкой к ней функцией. В рамках нашего проекта для решения поставленных задач будет применен метод моментов с учетом динамического характера параметра профиля супергауссового импульса. Полученные системы уравнений на параметры импульса будет решаться численно. Будет также использован комбинированный подход, который включает в себя метод моментов и разложение полученных интегральных характеристик сигнала в ряд Тейлора. Данный метод позволит нам получить аналитические закономерности для сдвига частоты импульса, распространяющегося в среде с вынужденным комбинационным рассеянием.

The aim of this project is the development mathematical methods for the research of new hyperbolic and parabolic equations, describing physical processes in nonlinear optics, acoustics and biophysics. In three years the following problems are planned to be considered. 1. Development of a method to construct the modifications of nonlinear equations integrable by the inverse scattering transformation method with keeping the property of integrability. New generalizations of the nonlinear integrable equations, which have physical applications and possess multisoliton solutions, will be obtained within this task. This will allow us to establish new features of nonlinear dynamics of solitons in problems of coherent optics and nonlinear acoustics. 2. The formation and propagation of spatiotemporal solitons called light bullets. The study of such physical phenomena is rather urgent for the problems of sensing, spectroscopy and the creation of devices for processing of information by optical methods. Considered spatiotemporal processes are described by the systems of coupled partial differential equations including both linear and nonlinear terms corresponding to physical factors. These systems are solved in (1+1)D, (2+1)D, (3+1)D spaces. The main approach is using vibrational method, which needs to be improved and modified for applying to new nonlinear problems. In particular, to realize these methods one should obtain the Langrangian function of system and trial solutions, which are sensitive to concrete mathematical models. Such approach has worked well in the problems of finding of analytical solitonic solutions. Every obtained solution will be studied on stability.In the framework of this problem we will develop new iterative multi-step solvers for conservative difference schemes. Applying these solvers will reduce time resources needed for numerical experiments. The formation and propagation of spatiotemporal solitons called light bullets. The study of such physical phenomena is rather urgent for the problems of sensing, spectroscopy and the creation of devices for processing of information by optical methods. Considered spatiotemporal processes are described by the systems of coupled partial differential equations including both linear and nonlinear terms corresponding to physical factors. In the framework of this problem we will develop new iterative multi-step solvers for conservative difference schemes. Applying these solvers will reduce time resources needed for numerical experiments. 3. Development of mathematical conservative and dissipative models and method for the analysis of nonlinear waves in biophysical matter at different level organization level. The derivation of model equation will be based on widely known approximations according to problem specific. Dynamics of most polymers can be studied by mechanistic description on the basis of effective Hamiltonians, which are usually one-dimensional. In course of the project we will consider both continual and discrete systems. Discrete systems of interest are generally non-integrable, therefore their detailed study will be performed by numerical simulation. 4. Development of approximate analytical methods for the studies of the nonlinear hyperbolic differential equations with partially derivatives describing the propagation of optical impulses. Uniform approach to the solution of the nonlinear equations doesn't exist. For this reason methods which can be used for investigation of a certain class of the physical problems described by such equations are of special value. In particular, within the declared research we will offer the new method allowing to describe the propagation of pulses which initial profile is described by super-Gaussian function. Within our project the method of the moments taking into account dynamic character of super-Gaussian pulse parameter will be applied to the solution of problems. The obtained systems of the equations for pulse parameters will be find by means of numerical simulations. The combined approach which includes a method of the moments and expansion of the obtained integrated characteristics in a Taylor series will be also used. This method will allow us to find the analytical regularities for shift of the pulse frequency at propagation in a Raman medium.

1. Развитие метода построения интегрируемых модификаций нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. Предложенный метод позволит получать нелинейные уравнения, обобщающие нелинейные уравнения, интегрируемые с помощью метода обратной задачи рассеяния, при сохранении свойства интегрируемости. Это приведет к существенному расширению области применимости моделей, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. Нахождение новых интегрируемых обобщений нелинейных уравнений, интегрируемых в рамках метода обратной задачи рассеяния. Найденные обобщения дадут возможность описывать нелинейную динамику в задачах когерентной оптики и нелинейной акустики при учете дополнительных физических факторов. Кроме того, их использование позволит устранить ряд ограничений на параметры физических моделей. 2. Получение аналитических решений в виде пространственно-временных солитонов в условиях генерации второй гармоники, включая волноводы, в случаях (2+1)D и (3+1)D. Моделирование динамики найденных солитонов. Построение новых поэтапных итерационных алгоритмов для решения консервативных нелинейных разностных схем, используемых для моделей, описывающих распространение световых пуль в (3+1)D случае. Применение консервативных нелинейных разностных схем в задачах исследования формирования и распространения трехмерных оптических пуль предпочтительно в отличие от обычно привлекаемого метода расщепления. Однако ввиду огромного количества арифметических операций, необходимых для перехода на новый расчетный слой, такие схемы не применялись для исследуемых моделей. Разработанные нами новые поэтапные итерационные алгоритмы позволят существенно сократить время для компьютерных расчетов эволюционных задач в (3+1)D случае. При этом полученное приближенное решение будет более точным вследствие использования консервативных разностных схем. 3. Будут получены критерии устойчивости длинно-коротковолновых пространственно-временных солитонов, исследована динамика их формирования с учетом эволюции спектров. Полученные наработки предлагается применить к исследованию задач нелинейной оптики анизотропных сред двухкомпонентных дискретных моделей ДНК, полимеров и микротрубочек. Будут выведены редуцированные волновые уравнения в квазидискретном приближении и получены их аналитические решения. С помощью численного моделирования планируется детально исследовать особенности динамики систем, обусловленные их дискретностью, а также выявить границы применимости континуальных аналитических методов. Будет проведен учет влияния на распространение и время жизни солитонов эффектов диссипативной природы. 4. Будет применен и развит метод моментов с учетом динамического характера параметров профиля супергауссовых импульсов. На этой основе будет всесторонне исследовано распространение супергауссовых импульсов в средах с вынужденным комбинационным рассеянием (ВКР) при учете процессов фотоионизации. Важным окажется исследование возможностей формирования устойчивых пространственно-временных солитонов в таких средах.