| 1 |
1 января 2013 г.-31 декабря 2013 г. |
Спектральная теория дифференциальных операторов и еѐ приложения к задачам граничного управления распределенными системами |
| Результаты этапа: Исследована структура динамического потока нормального уравнения, соответствующего системе Гельмгольца. Построены инвариантные множества устойчивости, взрыва и роста. Дано геометрическое описание этих множеств. Доказана нелокальная стабилизируемость нормального уравнения Бюргерса при помощи стартового управления. Построены устойчивые инвариантные подпространства конечной коразмерности для разрешающей полугруппы уравнения теплопроводности размерности 2D и 3D во внешности круга и сферы в терминах обобщенных собственных функций. С помощью этого спектрального разложения решена задача стабилизации решения системы Стокса во внешности круга с управлением на границе. Изучено абстраксное интегро-дифференциальное уравнение в гильбертовом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами. Получено разложение сильного решения этого уравнения в ряд по экспонентам, которые отвечают спектру оператор-функции. Оператор функция является символом рассмотренного уравнения. Было продолжено изучение различных обратных задач для операторов Штурма--Лиувилля. Получены результаты о глобальной устойчивости, которые также были применены к задачам восстановления по конечному набору спектральных данных. Начато изучение спектральных свойств оператора Дирака с негладким потенциалом. Получены результаты об асимптотическом поведении фундаментальной системы решений, которые влекут результаты об асимптотическом поведении собственных значений. На основании этих результатов доказана равносходимость разложений по системе собственных функций с невозмущенным оператором Дирака. Определены точные верхняя и нижняя грани первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля на классе потенциалов, нормированных интегральным условием. Краевые условия разделены на классы, для каждого их которых получены формулы для экстремальных значений. Изучены спектральные свойства задачи Штурма-Лиувилля с весом, являющимся обобщенной производной функции канторовского типа. Для краевых условий Неймана и некоторого класса краевых условий третьего типа доказано свойство спектральной периодичности собственных значений. Доказано, что периодическая функция, участвующая в главном члене асимптотики собственных значений не является постоянной. Получены критерии сингулярности монотонной непрерывной функции в терминах скорости аппроксимации кусочно-постоянными функциями. Для самоподобных функций получены точные оценки на скорость аппроксимации. |
| 2 |
1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. |
Спектральная теория дифференциальных операторов и еѐ приложения к задачам граничного управления распределенными системами |
| Результаты этапа: |
| 3 |
1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. |
Спектральная теория дифференциальных операторов и еѐ приложения к задачам граничного управления распределенными системами |
| Результаты этапа: |
