|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ЦЭМИ РАН |
||
Исследование спектральных свойств, классической и обобщенной разрешимости краевых задач и задач управления для уравнений эллиптического, гиперболического и смешанного типовНИР
Study of the spectral properties of classical and generalized solvability of boundary value problems and control problems for equations of elliptic, hyperbolic and mixed types
- Руководитель НИР: Моисеев Е.И.
- Участники НИР: Капустин Н.Ю., Коровина М.В., Лихоманенко Т.Н., Моисеев Т.Е., Нефедов П.В., Полосин А.А., Холомеева А.А.
- Подразделение: Кафедра функционального анализа и его применений
- Срок исполнения: 21 февраля 2014 г. - 31 декабря 2016 г.
- Номер договора (контракта, соглашения): 14-01-00163-а
- Номер ЦИТИС: 01201456109
- Тип: Фундаментальная
- Приоритетное направление научных исследований: Дифференциальные уравнения и математическая физика
-
Рубрики ГРНТИ:
- 27.31.19 Асимптотическое поведение решений
- 27.31.15 Общая теория дифференциальных уравнений и систем уравнений с частными производными
-
Ключевые слова:
классическое решение, уравнение гиперболического типа, задача трикоми, обобщенное решение, уравнение смешанного типа, уравнение параболического типа, априорные оценки
classical solution, generalized solution, parabolic equation, equation of hyperbolic type, mixed type equation, a priori estimates, tricomi problem -
Описание:
При выполнении проекта будут исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа: трехмерный аналог задачи Геллерстедта для уравнения эллиптико-гиперболического типа, аналог задачи Франкля и задачи со смешанными граничными условиями для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, задача Трикоми-Неймана для параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа. Перечисленные задачи будут решены спектральным методом, методом интегральных представлений, будут решены возникающие попутно спектральные задачи со спектральными параметрами в граничных условиях. Предполагается изучение корректности поставленных задач и получение априорных оценок решений. Будут исследованы задачи граничного управления для гиперболических уравнений и соответствующие им начально-краевые задачи. Исследования будут проводиться как в классическом,так и в обобщенном смыслах. Для некоторых задач будет проведена оптимизация найденного граничного управления. Предполагается развитие теории задач для дифференциальных уравнений на многообразиях с особенностями различных видов (коническими особенностями и особенностями типа клюва) в пространствах с асимптотиками. Будет исследован случай вырождения дифференциального оператора для такого рода задач.
-
Abstract:
Boundary value problems for the mixed type equations will be investigated: three-dimensional analogue of the Gellerstedt problem for the elliptic-hyperbolic type equation, analogue of the Frankl problem and the problem with mixed boundary conditions for the Lavrent'ev-Bitsadze equation, Tricomi-Neumann problem for parabolic-hyperbolic equation with the noncharacteristic line of changing type. These tasks will be solved using the spectral method, the method of integral representations, also will be solved spectral problems with spectral parameters in boundary conditions. We will study of the correctness of the problems and we will obtain a priori estimates. Will be investigated boundary control problems for hyperbolic equations and their corresponding initial-boundary problems. Research will be delivered in a classic, and in a generalized sense. Optimization of found boundary control will be carried out for certain tasks. It is assumed to develop problems of the theory to differential equations on manifolds with singularities of various types (conical singularities and characteristics of the beak type) in spaces with asymptotic behaviour. Will be investigated the case of degeneration of the differential operator for such tasks.
-
Планируемые результаты:
Будет выписано решение трехмерного аналога задачи Геллерстедта в виде биортогональных рядов с использованием функций Бесселя. Ожидается существенно новый результат в теории трехмерных задач для уравнений смешанного типа. Будет изучен вопрос о корректной постановке краевой задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными граничными условиями в эллиптической части области. Предполагается получить новый результат о необходимых и достаточных условиях разрешимости нефредгольмовой задачи, описывающей реальный газодинамический процесс. Для спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии, возникающей при решении задачи Трикоми-Неймана для параболо-гиперболического уравнения, будет выписано в виде трансцендентного соотношения на комплексной плоскости условие на коэффициент в граничном условии, при котором в системе корневых функций появляются присоединенные. Для всех возможных значений коэффициента будут рассмотрены вопросы полноты, минимальности и базисности в Lp, p>1 соответствующих систем корневых функций. Будут построены биортогонально сопряженные системы и сформулированы нелокальные задачи без спектрального параметра для выделенных полных и минимальных подсистем. Ожидаются новые результаты, позволяющие теоретически обосновать математическое описание некоторых реальных процессов движения волн (температурных, механических) в средах с внешним воздействием. Будут исследованы вырожденные случаи задач граничного управления колебаниями стержня с динамическим граничным условием типа торможения. Предполагается получить новые теоретические результаты в негильбертровых пространствах, в частности по вопросам гладкости обобщенных решений.
-
Научный задел:
В работах Е.И. Моисеева, В.А. Ильина и его учеников уже рассматривались аналоги известных краевых задач для уравнений смешанного типа, а также различные задачи из теории граничного управления. Ранее в работах Н.Ю. Капустина, Т.Е. Моисеева, А.А. Полосина были исследованы вопросы корректной разрешимости задач для уравнений смешанного типа спектральным методом. Были изучены расположение спектра, полнота и базисность корневых функций задачи с наклонной производной с переменным углом наклона в круге; расположение спектра некоторых других задач с наклонной производной. Все полученные коллективом в этом направлении результаты являются новыми и оригинальными. Разработаны новые методы решения поставленных задач. Для получения точных априорных оценок решений для уравнений смешанного типа предлагается оригинальный подход с использованием теории дифузионных процессов и элементов эргодической теории. Для выяснения корректности постановок задач будет применяться новый метод, основанный на детальном изучении свойств базисности в пространствах Lp ситем корневых функций соответствующей спектральной задачи. Также для изучения вопросов разрешимости будет использоваться оригинальный подход на основе интегрального представления функций биортогонально сопряженной системы.
-
Основные результаты:
Рассмотрена спектральная задача для уравнения Штурма-Лиувилля на отрезке с граничным условием первого рода на одном конце и граничным условием третьего рода на другом конце, содержащим спектральный параметр во второй степени при искомой корневой функции и физический параметр, который может принимать комплексные значения. Рассмотрен вопрос базисности системы собственных функций в пространствах Lp и C. Исследован вопрос о корректности смешанной задачи для уравнения теплопроводности с оператором теплопроводности в граничном условии, в котором время и пространственная переменная поменялись местами. Начато изучение спектральных вопросов, возникающих при решении задач управления процессом колебаний тяжелой цепи с грузом на конце. Рассмотрены соответствующие спектральные задачи для уравнений Бесселя нулевого и первого порядка со спектральным параметром в граничном условии. Начато изучение вопросов полноты, минимальности и базисности системы корневых функций как в пространствах Lp и C, так и в гильбертовом пространстве, связанном с мерой Лебега-Стилтьеса.
- Добавил в систему: Моисеев Евгений Иванович
Соисполнители НИР
| МГУ имени М.В.Ломоносова | Координатор |
Источник финансирования НИР
| грант РФФИ |
Этапы НИР
| # | Сроки | Название |
| 1 | 21 февраля 2014 г.-31 декабря 2014 г. | Исследование спектральных свойств, классической и обоб¬щенной разрешимости краевых задач и задач управления для уравнений эллиптического, гиперболического и смешанного типов |
| Результаты этапа: Спектральным методом изучена задача Геллерстедта для однородного уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерной области. Решение задачи выписано в виде суммы двух функций, каждая из которых представлена абсолютно и равномерно сходящимся рядом. Исследованы аналоги классических задач смешанного типа (задачи Трикоми и Франкля) для уравнения Лавретьева-Бицадзе в трехмерных областях. Для каждой задачи решения предъявляются явно в виде функциональных рядов, а также устанавливаются единственность и регулярность построенных решений. Получено интегральное представление решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева–Бицадзе со смешанными граничными условиями в эллиптической части области и с заданием нуля на одной из характеристик уравнения. Рассмотрена смешанная задача для неоднородного факторизованного гиперболического уравнения второго порядка в четверти плоскости при полунестационарной факторизованной второй производной в граничном условии. Установлены необходимые и достаточные условия существования и единственности классического решения этой смешанной задачи. В аналитическом виде найдено классическое решение неоднородного одномерного волнового уравнения при наличии начальных условий Коши, граничного условия на боковой границе и нелокального интегрального условия. Рассмотрена спектральная задача для простейшего уравнения Штурма-Лиувилля на отрезке с граничным условием второго рода на одном конце и граничным условием третьего рода, содержащим спектральный параметр. Подробно изучены вопросы полноты, минимальности и базисности в Lp, p>1 системы корневых функций задачи. | ||
| 2 | 1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. | Исследование спектральных свойств, классической и обоб¬щенной разрешимости краевых задач и задач управления для уравнений эллиптического, гиперболического и смешанного типов |
| Результаты этапа: Рассмотрена спектральная задача для уравнения Штурма-Лиувилля на отрезке с граничным условием первого рода на одном конце и граничным условием третьего рода на другом конце, содержащим спектральный параметр во второй степени при искомой корневой функции и физический параметр, который может принимать комплексные значения. Рассмотрен вопрос базисности системы собственных функций в пространствах Lp и C. Исследован вопрос о корректности смешанной задачи для уравнения теплопроводности с оператором теплопроводности в граничном условии, в котором время и пространственная переменная поменялись местами. Начато изучение спектральных вопросов, возникающих при решении задач управления процессом колебаний тяжелой цепи с грузом на конце. Рассмотрены соответствующие спектральные задачи для уравнений Бесселя нулевого и первого порядка со спектральным параметром в граничном условии. Начато изучение вопросов полноты, минимальности и базисности системы корневых функций как в пространствах Lp и C, так и в гильбертовом пространстве, связанном с мерой Лебега-Стилтьеса. | ||
| 3 | 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. | Исследование спектральных свойств, классической и обоб¬щенной разрешимости краевых задач и задач управления для уравнений эллиптического, гиперболического и смешанного типов |
| Результаты этапа: Изучена смешанная задача для уравнения четвертого порядка и соответствующая ей спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения, описывающая биортогонально сопряженную систему к системе корневых функций для классической задачи со спектральным параметром в граничном условии. Построено классическое решение смешанной задачи в виде билинейного ряда и доказана теорема единственности решения. Установлены свойства базисности системы собственных функций соответствующей спектральной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка без спектрального параметра в граничных условиях в различных функциональных пространствах. Указан алгоритм построения биортогонально сопряженной системы к системе корневых функций для задачи со спектральным параметром в граничных условиях в виде решения спектральной задачи для уравнения более высокого порядка. Разработан метод повторного квантования, с помощью которого исследуются асимптотики уравнений с голоморфными коэффициентами. С помощью этого метода изучены асимптотики однородных дифференциальных уравнений с вырождением типа «клюва» в случае, когда основной символ имеет кратные корни. Случай кратных корней является значительно более сложным и потребовал создания принципиально нового метода. Асимптотики решений уравнений ищутся с помощью преобразования Лапаласа-Бореля. Метод повторного квантования состоит в том, что это преобразование применяется дважды для получения удобного в плане изучения интегро-дифференциального уравнения и нахождения асимптотики. Были изучены аналоги известных задач для уравнения смешанного типа: задачи Геллерстедта с различными неклассическими краевыми условиями. Была решена задача о том, при каком соотношении параметров решение поставленных задач существует, когда оно будет единственным и когда единственность решения нарушается. Были доказаны теоремы, в которых получены результаты,скасающиеся единственности решений при различных соотношениях переметров краевых условий задач. Кроме того, большую ценность представляют найденные интегральные представления решений поставленных задач, в явном аналитическом виде в виде интегралов типа Коши. В некоторых случаях, решения были построены в виде биортогональных рядов. | ||
Прикрепленные к НИР результаты
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".