| Результаты этапа: Была построена процедура усреднения локальных теоретико-полевых скобок Пуассона в многомерном случае при наличии минимального набора коммутирующих первых интегралов системы. Процедура напрямую связана с методом Уизема для многомерного случая и дает локальную скобку Пуассона для соответствующей системы Уизема. Особенности пространства
модулированных параметров приводят при этом к специальному классу усредненных скобок Пуассона,
представляющих собой полевые деформации конечномерных скобок.
Рассмотрены особенности построения гамильтоновых структур для системы Уизема при наличии псевдофаз.
Показано, что построение локальной полевой гамильтоновой структуры для системы Уизема в этом случае может быть проведено при наличии меньшего числа законов сохранения исходной системы.
Найдена связь теории эллиптических функций с задачей об изгибаемых многогранниках в пространствах
постоянной кривизны. Для всех типов изгибаемых кросс-политопов в пространствах постоянной кривизны:
евклидовом пространстве, пространстве Лобачевского и сфере - построены явные параметризации их изгибаний в
эллиптических функциях Якоби.
Изучались левоинвариантные комплексные и гиперкомплексные структуры на нильмногообразиях (нильпотентных группах Ли). Научные результаты: 1) найдены новые алгебраические ограничения на структуру нильпотентной алгебры Ли, которые возникают вследствие наличия интегрируемой комплексной структуры на нильпотентной
алгебре Ли (оценка на ноль-индекс, размерности идеалов нижнего центрального ряда), построен целый ряд примеров в алгебре Ли произвольной (четной) размерности. В рамках общей конструкции "удвоения алгебры Ли", для положительно градуированной алгебры Ли с интегрируемой комплексной структурой, получен явный способ построения градуированных алгебр Ли с гиперкомплексной структурой.
Доказана полная интегрируемость до Дарбу полудискретных и чисто дискретных двумеризованных цепочек Тоды, соответствующих матрицам Картана простых алгебр Ли серий A и C. Гиперболическая система называется интегрируемой по Дарбу, если она допускает полные наборы независимых в главном интегралов вдоль обеих характеристик. Недавно этот подход был обобщен на полудискретные и чисто дискретные системы. Как известно, в непрерывном случае двумеризованные цепочки Тоды, соответствующие матрицам Картана простых алгебр Ли,
интегрируемы по Дарбу. Было показано, что в полудискретном и в чисто дискретном случаях коэффициенты некоторого дифференциального (разностного) оператора являются интегралами цепочки, соответствующей серии А, и что эти интегралы образуют полный набор. Была построена явная формула для интегралов по обоим направлениям. Также интересным обстоятельством явилось то, что данный подход позволяет извлечь эти интегралы непосредственно из природы цепочек Тоды, связанной с таким классическим объектом, как преобразования Дарбу-Лапласа. Кроме этого, было доказано, что редукции от цепочки серии А к цепочке серии С дает полный набор независимых в главном интегралов и в этом случае (как для полудискретной, так и чисто дискретной цепочек).
Получена полная классификация монокорнальных разбиений евклидовой плоскости. Получены все возможный кристаллографические группы и фриз-группы, которые могут иметь такие разбиения. Построены примеры монокорональных разбиений d-мерных евклидовых пространств (нормальных и ненормальных), для которых размерность группы трансляций, сохраняющих разбиение, имеет порядок d/2.
Построены примеры монокоральных разбиений d-мерных гиперболических пространств с тривиальной группой
симметрий.
Получено доказательство квазиизометричности группы классов отображений произвольной поверхности с
проколами, снабженной сжатой словарной метрикой Дынникова, и толстой части соответствующего пространства Тейхмюллера, снабженного метрикой Тейхмюллера.
Были получены новые примеры коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 с полиномиальными
коэффициентами. Замечателен тот факт, что у этих примеров гладкие спектральные кривые. До этого момента был лишь пример Диксмье и его обобщение Мироновым. Также, в некоторых случаях были найдены общие собственные функции этих операторов, выраженные через функции Бесселя. Также были получены необходимые, а в некоторых случаях и достаточные, условия коммутации оператора специального вида с оператором порядка 4g
+ 2 и описаны особенности общих собственных функций этих операторов.
Построены классы примеров коммутирующих скалярных обыкновенных дифференциальных операторов произвольного ранга r и произвольного рода g с полиномиальным коэффициентами, а также отвечающие им
соответствующие коммутативные подалгебры алгебры Вейля. Для невысоких значений рода g построены примеры коммутирующих скалярных обыкновенных дифференциальных операторов рода g и произвольного ранга r с полиномиальными коэффициентами и с несингулярными спектральными кривыми. Сформулирована гипотеза, что для любых рангов и любых родов имеются такие примеры с несингулярными спектральными кривыми, которая пока не доказана.
Исследовались алгебраические, комбинаторные и топологические структуры, связанные с уравнением тетраэдров, и других обобщений уравнения Янга-Бакстера. В том числе был построен n-симплициальный комплекс, обобщающий комплекс Янга-Бакстера. Некоторые классы когомологий в случае, соответствующем уравнению тетраэдров, позволяют строить новые решения уравнения тетраэдров, а также получать квазиинварианты 2-узлов, то есть классов изотопий вложений двумерных поверхностей в R4. Также исследовались 2-мерные обобщения квантовых интегрируемых систем и соответствующие трехмерные статистические модели.
Исследован класс триангуляций сфер, получающихся из джойна границ симплексов произвольных размерностей
итерцией надстройки пирамиды над гипергранью. Для полученных симплициальных комплексов описано
строение мономиальных идеалов Стенли--Райснера, получены явные формулы для их биградуированных чисел
Бетти. Это позволяет вычислить явно все топологические числа Бетти гладких многообразий, являющихся момент-угол комплексами данных триангуляций сфер.
В указанном классе симплициальных комплексов доказан критерий, когда кольцо граней комплекса является
минимально неголодовским кольцом (над любым полем) или кольцом Голода (над любым полем). Согласно
результату А.Берглунда и М.Йолленбека, это означает, что в кольцах когомологий соответствующих момент-угол
комплексов над произвольным полем нет нетривиальных высших произведений Масси.
В том же классе получен критерий, когда момент-угол комплекс соответствующий триангуляции сферы указанного типа топологически эквивалентен связной сумме произведений сфер, с двумя сферами в каждом произведении. В классе триангуляций, являющихся пирамидальными надстройками над джойном границ двух симплексов произвольных размерностей, с помощью результата С.Гитлера и С.Лопез де Медрано о связных суммах произведений сфер, приведен пример, когда соответствующее момент-угол многообразие имеет нулевые целочисленные когомологии в размерности, большей 3, но не является 3-связным. Ранее были явно вычислены только топологические типы момент-угол многообразий многогранников усечения и случай циклических многогранников малой размерности (Ф.Босио и Л.Меерсманн), для которых этот феномен не имеет места.
Получены новые результаты о топологии важного класса пространств с действием тора - момент угол-комплексов. Доказана формальность в смысле рациональной теории гомотопий полиэдральных произведений формальных пространств, а также квазиторических многообразий.
Дано комбинаторное описание образующих алгебры Понтрягина гомологий петель на момент-угол-комплексах, соответствующих флаговым симплициальным комплексам. Исследованы классы симплициальных комплексов, для которых соответствующий момент-угол-комплекс гомотопически эквивалентен букету сфер или связной сумме произведений сфер. Получено полное описание этих классов в случае флаговых комплексов.
Описаны стабильные разложения пространств петель на момент-угол-комплексах, соответствующих флаговым
симплициальным комплексам, в букеты пространств петель на сферах.
В предыдущих работах П.Г. Гриневича и С.П. Новикова было построено спектральное преобразование для
одномерных стационарных операторов Шредингера с конечнозонными периодическими вещественными сингулярными потенциалами. Показано, что для сингулярных вещественных конечнозонных формально-симметричных обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка можно развить
аналогичную теорию. При этом возникает естественное индефинитное скалярное произведение и число его
отрицательных квадратов (в периодическом случае - после фиксации унитарного блоховского мультипликатора) совпадает с правильно посчитанным числом вещественных полюсов. Эта величина оказывается интегралом движения для уравнений из иерархии Гельфанда-Дикого, сохраняющих формальную
самосопряженность.
Начато построение аналога данной теории для нестационарного одномерного оператора Шредингера. В частности, показано, что найденный ранее Дубровиным и Натанзоном критерий регулярности для вещественных конечнозонных решений иерархии уравнений Кадомцева-Петвиашвили 1 в точности означает положительность соответствующей спектральной меры.
Развито преобразование рассеяния для векторного поля, входящего в линейную пару Лекса для так называемого уравнения Павлова. Используя развитую технику мы показали, что для достаточно малых в некоторой норме данных Коши урешение уравнение регулярно на всех временах. Это первый пример, когда для векторных полей и связанных с ними бездисперсионных пространственно-многомерных уравнений математической физики удалось
построить аналог спектрального преобразования (хорошо известного для систем с ненулевой
дисперсией) и получить с его помощью строгие результаты.
Для дискретизации комплексного анализа, предложенного ранее С.П.Новиковым и И.А.Дынниковым, доказано существование ограниченных дискретно-голоморфных функций на плоскости Лобачевского, триангулированной правильными треугольниками. А именно, показано, что любая дискретная голоморфная функция в конечной области может быть продолжена до ограниченной дискретной голоморфной функции на всей плоскость Лобачевского, причем так, что для нее будет конечно значение функционала, который в данной теории является аналогом функционала Дирихле.
Построены двумерные комплексы с измеримыми слоениями тонкого типа, у которых орбиты имеют два топологических конца. Используя такие комплексы,
найдены примеры хаотических режимов в задаче
С.П.Новикова о плоских сечениях 3-периодических поверхностей, в которых траектории имеют асимптотическое направление в обычном (не сильном) смысле. Это связано с тем, что соответствующее слоение на Ферми-поверхности оказывается нестрого эргодичным.
|
