| 1 |
6 августа 2014 г.-31 декабря 2014 г. |
Математическое моделирование нелинейных явлений фотоники |
| Результаты этапа: Разработана новая постановка задачи воздействия фемтосекундного импульса на фотонный кристалл, позволяющая многократно ускорить расчет такого взаимодействия в рамках уравнения Шредингера. Предложенный подход состоит из двух этапов (момен-тов). Первый этап заключается в замене начального распределения амплитуды волны (что является общепринятым в рассматриваемом классе задач) на ее краевое условие. Тем са-мым, исчезает необходимость проведения расчетов в области достаточно большого разме-ра, расположенной до фотонного кристалла. Второй ключевой момент заключается, как было отмечено выше, во введении в рассмотрения новых (искусственных) волн, которые позволяют осуществить “переброску” амплитуды анализируемой волны через сечения, в которых поставлены условия для основной волны, без отражения от них. Это позволяет существенно (в зависимости от числа введенных волн и безразмерного интервала времени, на котором анализируется решение задачи, даже в десятки, сотни и тысячи раз) сократить расчетную область по сравнению с размером области, соответствующей случаю задания нулевых краевых условий и при условии, что отраженная волна от границы рассматривае-мой области не дошла до границы фотонного кристалла. В сочетание с первым этапом дан-ный подход уменьшает размеры рассчитываем области в тысячи (и более) раз, что потен-циально позволяет проводить расчеты двух- и трехмерных задач на обычных компьютерах и серверах, содержащих небольшое число процессоров и ядер.
Предложены искусственные краевые условия, основанные на применении частей инвариантов задачи для расчета локального волнового числа вблизи искусственной границы, входящего в эти условия. Введение в рассмотрение локального волнового числа вблизи границы принципиально отличает наш подход от других подходов, используемых в литературе. Для вычисления локального волнового числа нами предлагается использовать некоторые части инвариантов нелинейного уравнения Шредингера. Этот подход представляется наиболее целесообразным, поскольку он позволяет уменьшить влияние ошибок округления, неизбежно присутствующих при компьютерном моделировании, на вычислении локального волнового числа вблизи границы. Заметим, что для практики представляет интерес именно случай расчета решения задачи, когда амплитуда волны вблизи искусственной границы составляет десятые (и менее) доли процента от амплитуды падающей волны. Эта ситуация наиболее сложная для расчетов.
За отчетный период построено аналитическое решение задачи четырехволнового взаи-модействия фемтосекундных импульсов в условиях фазового синхронизма, когда волновые числа связаны определенным соотношением: их линейная комбинация равна нулю. На его основе проведен анализ множественности решения задачи на плоскости выбранных параметров. Найденные решения подтверждены компьютерным моделированием, выполненным на основе уравнений Шредингера, показывающим возможность реализации обнаруженных режимов взаимодействия волн. На основе анализа множественности решений и компьютерного моделирования показано существование эффекта бистабильного усиления сигнальной волны (существует два решения задачи при одних и тех же начальных условиях), а также продемонстрирован способ реализации переключения взаимодействия волн из одного режима в другой.
Для соответствующей системы уравнений Построена консервативная разностная схе-ма, сохраняющая разностный аналог закона сохранения заряда, для задачи взаимодействие фемтосекундного импульса с полупроводником в двумерной постановке. Для ее реализации предложен оригинальный двухэтапный итерационный процесс, который позволяет реализовать как консервативность схемы, так и ее асимптотическую устойчивость. Это свойство схемы необходимо для рассматриваемой задачи, поскольку расчеты проводятся на интервале времени в тысячу безразмерных единиц.
Построенная разностная схема реализована в виде программы, по которой проведены широкомасштабные компьютерные эксперименты, обнаружившие развитие сложных про-странственных локализованных структур, обусловленных, в частности , проявлением оптической бистабильности (существованием множественности решений в стационаре при некотором наборе значений входной интенсивности). Впервые в мире была показана возможность развития спиральных волн, вызванных действием электрического поля (для этого необходима также реализация оптической бистабильности). В компьютерных экспериментах было показано развитие спиральных волн концентрации свободных электронов в полупроводнике и дано объяснение этому процессу. С ростом входной интенсивности лазерного излучения развиваются пространственные структуры, подобные их хаотическому изменению.
При компьютерном моделировании взаимодействии фемтосекундного импульса со средой, содержащей наночастицы благородных металлов, предсказан и изучен эффект за-медления и ускорения света при его распространении в среде с наночастицами благород-ных металлов. При этом нами строилось аналитическое решение рассматриваемой задачи в приближении, подобном нелинейной геометрической оптике, позволяющее объяснить ме-ханизм возникновения быстрого и медленного света в этих условиях.
В рамках проекта проводилось исследование взаимодействие фемтосекундного им-пульса с нелинейным фотонным кристаллом в одномерном случае: кристалл представляет собой слоистую структуру. На основе компьютерного моделирования был обнаружен эф-фект формирования осциллирующего солитона вблизи поверхности нелинейного фотонного кристалла. В отличие от известных в литературе работ по аналогичным исследованиям поверхностных солитов в нашем случае солитон располагается на протяжении нескольких слоев, а также периодически часть его уходит из фотонного кристалла и возвращается обратно.
В рамках одномерных уравнений Максвелла проводилось исследование влияния абсо-лютной фазы малопериодного импульса на его прохождение через фотонный кристалл. Для оптического диапазона частот показано существенное влияние абсолютной фазы мало-периодного импульса на его прохождение через фотонный кристалл. Было обнаружено яв-ление трансформации спектра прошедшего импульса в зависимости от абсолютной фазы падающего импульса либо в сторону увеличения частот, либо в сторону их уменьшения, что открывает возможность формирования (в том числе и непрерывном) импульсов с но-вым спектральным наполнением, используя лишь линейные взаимодействие светового им-пульса со средой.
В рамках уравнений Максвелла также было обнаружен эффект осцилляции световой энергии на границе фотонного кристалла. Однако, в отличие от вышеописанного случая осцилляции солитона на границе нелинейного кристалла в данном случае рассматривался линейный фотонный кристалл, и форма импульса была произвольной. Это указывает на универсальность обнаруженного эффекта осцилляции световой энергии вблизи границы фотонного кристалла.
Нами показано также, что существует эффект отсутствия отраженной волны, который оп-ределяется частотой (числом периодов волны) при фиксированной длительности импульса.
Исследование закономерностей взаимодействия малопериодных терагерцовых импуль-сов (в литературе существует термин”терагерцовая фотоника”) проводилось на основе имеющихся в нашем распоряжении экспериментальных данных. Основные усилия в мате-матическом плане здесь были направлены на разработку математического аппарата обра-ботки динамического спектрального состава регистрируемой электромагнитной волны. Важность этой работы иллюстрирует, например, тот факт, что имея этот аппарат можно оп-ределять времена жизни возбужденных энергетических уровней молекул. Из полу-ченных других физических результатов следует выделить сложную картину взаимодейст-вия малопериодного терагерцового импульса с разупорядоченной пространственной структурой. На примере взаимодействия импульса с бумажными салфетками было показано аномальное преобразование спектра падающего импульса, в результате которого в нем обнаруживалось “присутствие” различных веществ, которых не было, если анализировать только спектр соответствующего импульса. Этот метод общепринят в литературе. Наш же математический подход давал верную информацию о присутствующем веществе.
В рамках уравнений Максвелла проводилось исследование эффекта локализации свето-вой энергии в периодических структурах во времени (так называемые временные фотонные структуры). Из полученных результатов следует подчеркнуть два. Во-первых, в этой задаче также обнаружен эффект пульсации световой энергии вблизи границ этих структур. Во-вторых, управляя моментом создания этих пространственных структур, можно формировать отраженный от них или прошедший через них электромагнитный импульс с перестраиваемым спектром. Это открывает достаточно простой (в плане практической реализации) способ перестройки частоты и длительности электромагнитного поля без его нелинейного взаимодействия со средой. |
| 2 |
1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. |
Математическое моделирование нелинейных явлений фотоники |
| Результаты этапа: Построено аналитическое решение задачи четырехволнового взаимодействия фемтосекундных импульсов при их распространении в среде с кубичной нелинейностью в различных условиях:
1. при наличии фазового синхронизма, когда волновые числа связаны определенным соотношением: их линейная комбинация равна нулю;
2. в случае его отсутствия;
3. при ненулевой амплитуде всех волн.
Предложен оригинальный подход, основанный на применении инвариантов задачи для получения алгебраического (вместо дифференциального) уравнения относительно разности фаз нелинейно взаимодействующих волн. Проведен анализ множественности решения задачи на плоскости выбранных параметров, а также зависимость отношения интенсивности четвертой волны к входному значению интенсивности второй волны. Изучены зависимости реализации бистабильного режима от начального значения амплитуды четвертой волны и разности фаз взаимодействующих волн. Следует подчеркнуть, что при ненулевых значениях входных амплитуд эволюция решения зависит также и от разности фаз волн. Поэтому добавляется еще один параметр. Найденные решения подтверждены компьютерным моделированием, выполненным на основе уравнений Шредингера, показывающим возможность реализации обнаруженных режимов взаимодействия волн.
Для задачи анализа развития процессов нестационарной генерации лазеро-индуцированной плазмы в 2D постановке на отрезках времени до 1000 безразмерных по-строена консервативная разностная схема, сохраняющая разностный аналог закона сохранения заряда. Для ее реализации предложен оригинальный двухэтапный итерационный процесс, который позволяет реализовать как консервативность схемы, так и ее асимптотическую устойчивость при произвольных краевых условиях. Рассматриваемый процесс описывается системой нелинейных уравнений относительно концентраций свободных электронов и ионизированных примесей, уравнением Пуассона относительно потенциала электрического поля и уравнения для изменения интенсивности светового импульса или уравнения Шредингера для эволюции комплексной амплитуды импульса. Учитывается подвижность электронов и нелинейная зависимость коэффициента поглощения от концентрации свободных зарядов, что приводит к реализации оптической бистабильности: неоднозначной зависимости решения от интенсивности оптического импульса. Полупроводник помещен во внешнее электрическое поле, что приводит к постановке краевых условий смешанного поля.
Продемонстрирована принципиальность проблемы выбора начального 2D распределения электронно-дырочной плазмы полупроводника, помещенного во внешнее электрическое поле. Для устранения неконтролируемого роста потенциала предложен метод нормировке распределения концентраций свободных носителей заряда и ионизированных доноров на каждой итерации при численном решении уравнения Пуассона и стационарных уравнений относительно концентраций исходя из инварианта задачи. В сочетании с двух-этапным итерационным процессом для решения уравнений относительно концентраций зарядов (что принципиально в рассматриваемой задаче) получаем сходящийся итерационный процесс, и вычисленное на его основе решение обладает требуемыми физическими свойствами. В компьютерных экспериментах обнаружено (новое) круговое движение волн заряда (капли заряда) и хаотического развития пространственных структур концентрации свободных зарядов.
Для задачи взаимодействию фемтосекундного импульса со средой, содержащей нано-частицы золота в виде нанопроволочек, получена система уравнений, описывающая этот процесс, исходя из формализма матрицы плотности для описания процесса поглощения световой энергии наночастицами и уравнениями Максвелла для описания распространения светового импульса. При записанных условиях относительно параметров взаимодействия из этой системы уравнений записана система нелинейных уравнений, состоящая из нелинейного уравнения Шредингера с учетом двух- (или много-) фотонного поглощения, отстройки частоты энергетического перехода атомов золота от соответствующего произведения несущей частоты волнового пакета на число квантов, участвующих в элементарном акте поглощения, и уравнения, описывающего изменение эллиптичности наночастиц. Данная система уравнений обобщена также на случай конечной спектральной ширины поглощения среды, содержащий наночастицы благородных металлов. В результате этого, в нелинейном уравнении Шредингера появляется интегральный член (по частоте) в нелинейном отклике среды. Для рассматриваемых систем нелинейных уравнений построены конечно-разностные схемы второго порядка по времени и пространственной координате. Они нелинейные и для их реализации использовались итерационные методы. Важно подчеркнуть, что в случае отсутствия поглощения среды эти схемы обладали свойством консервативности.
Из полученных результатов компьютерного моделирования отметим следующие:
обнаружен эффект, аналогичный superluminality, при распространении светового импульса, т.е. значительного увеличение его скорости по сравнению с его распространением в линейной среде;
формирование солитоноподобного субимпульсов (распространяются в автомодельном режиме);
захват субимпульсов фронтами плавления нанопроволочек.
Изучен эффект локализации световой энергии в фотонном кристалле, состоящем из чередующихся слоев с различными оптическими свойствами, обусловленный формированием солитона, блуждающего поперек слоев фотонного кристалла, а также осциллирующего солитона вблизи поверхности нелинейного фотонного кристалла. В отличие от известных в литературе работ по аналогичным исследованиям поверхностных солитонов в нашем случае солитон располагается на протяжении нескольких слоев, а также периодически часть его уходит из фотонного кристалла и возвращается обратно.
Для задач терагерцовой фотоники, включая задачи диагностики веществ, обнаружен каскадный механизм обогащения спектра прошедшего или отраженного от среды сигнала, который объяснил имеющие место в эксперименте закономерности. Впервые было дано объяснение экспериментам по терагерцовой фотонике, посвященным изучению спектров веществ, упакованных в нейтральные вещества. Показано, что это является результатом действия упаковки как разупорядоченной структуры для широкополосного терагерцового импульса.
Предсказан эффект возникновения ложных частот вследствие нестационарного отклика среды, если при фиксированной длительности малопериодного импульса его амплитуда превышает некоторое значение. Это также пересматривает сложившиеся представления о терагерцовой спектроскопии веществ, так как большинство авторов подчеркивали необходимость повышения амплитуды сигнала, что справедливо, если имеет место длительное воздействие.
Продолжалась разработка оригинального метода импульсной спектроскопии веществ, основанной на предложенном нами методе спектрального динамического анализа на основе интегральных корреляционных критериев, которые позволяют определить присутствие выбранной спектральной составляющей в анализируемом сигнале в реальных условиях. Стандартной метод спектроскопии, основанный на сравнении спектров вещества и эталонного сигнала, не позволяет этого сделать, что хорошо известно из литературы. Дано объяснение этому.
Построены автомодельные решения задачи распространения фемтосекундных импульсов в нелинейно поглощающей среде. Такое решение является аналогом солитонного решения для прозрачных сред, так как в нашем случае максимальное значение интенсивности импульса уменьшается из-за поглощения световой энергии. Однако форма импульса остается неизменной в течение определенной трассы распространения. Отличительная черта нашего подхода состоит в том, что мы находим такие решения для чирпированных импульсов, для которых несущая частота волнового пакета изменяется со временем. Ранее подобного рода решения отсутствовали в литературе. Аналитические решения подтверждены результатами компьютерного эксперимента. При этом обнаружено существование параметров светового импульса, для которых автомодельный режим распространения справедлив на трассах до дисперсионных длин.
Сформулирована новая постановка задачи воздействия фемтосекундного импульса на фотонный кристалл, позволяющая многократно ускорить расчет такого взаимодействия в рамках уравнения Шредингера, которая заключается в введении в рассмотрения новых (искусственных) волн, позволяющих осуществить “переброску” амплитуды анализируемой волны через сечения, в которых поставлены условия для основной волны, без отражения от них. Для устранения амплитуды отраженной дополнительной волны от второй границы ее области распространения предложено введение поглощения ее энергии.
Аналогичный подход предложен и для системы уравнений Максвелла. В результате проведенных исследований удалось сформулировать постановку задачи с введением дополнительной (искусственной) волны, при которой отсутствует отражение основной (физической) волны от границы области ее распространения. Соответствующие компьютерные эксперименты проводились для модельных задач.
|
| 3 |
1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. |
Математическое моделирование нелинейных явлений фотоники |
| Результаты этапа: 1. Взаимодействие лазерного импульса с наночастицами.
Продолжалось построение и исследование нового класса автомодельных решений -чирпированных солитонов – при распространении фемтосекудных лазерных импульсов в среде с наночастицами благородных металлов.
1.1. Солитоны и эффект superluminality.
В отчетный период продолжено изучение взаимодействия фемтосекундного импульса со средой, содержащей наночастицы золота в виде нанопроволочек. Существенным результатом проведенных исследований является предсказание нового класс солитонных (автомодельных) решений: чирпированных солитонов. В отличие от классических солитонов нелинейного уравнения Шредингера, в обнаруженных нами солитоноподобных решениях присутствует чирпирование частоты (ее изменение со временем) светового импульса. В литературе отсутствовал такой класс автомодельных решений.
Эти солитоны построены как аналитически, так и получены на основе компьютерного моделирования. Аналитические решения уравнений построены при некоторых упрощающих предположениях: либо в приближении, аналогичном приближению нелинейной геометрической оптики, либо при специальном представлении формы импульса и закона изменения его частоты во времени. Результаты компьютерного моделирования сравнивались с результатами аналитического решения с целью подтверждения друг друга.
Аналитически было показано существования двух классов солитонов: быстрых (эффект superluminality) и медленных (slowing down) солитонов. Выявлено, что их формирование зависит от многих факторов взаимодействия импульсов с наночастицами. На основе компьютерного моделирования исследовано влияние типа поглощения (одно- или многофотонного) на реализацию явления superluminality и формирование солитонов. Показано, что увеличение числа фотонов, вовлеченных в процесс одновременного поглощения (т.е. переход к многофотонному поглощению), приводит к менее ярко выраженному эффекту superluminality .
Исследовано формирование ускоряющихся (явление superluminality) солитонов в случае двухфотонного поглощения лазерного излучения наностержнями и индуцированной положительной фазовой решетки. Эта решетка вызывает сжатие (компрессию) импульса. Подробно описан физический механизм формирования ускоряющихся солитонов, а также на основе минимизации среднеквадратичного функционала записана форма импульса ускоряющихся солитонов, полученных в компьютерном эксперименте.
Исследовано влияние соотношения ширины спектра поглощения и ширины спектра импульса на процесс формирования ускоряющихся солитонов при распространении фемтосекундного лазерного излучения в среде с наностержнями благородных металлов в случае двухфотонного поглощения и положительной фазовой решетки, индуцированной лазерным излучением. Показано, что при уменьшении ширины спектра поглощения по сравнению с шириной спектра импульса уменьшается ускорение формирующегося солитона. Обнаружено также, что если спектр поглощения более узкий, чем спектр падающего излучения, то отсутствует расщепление лазерного импульса на суб-импульсы, характерное для широкого спектра поглощения.
Исследовано влияние двухфотонной люминесценции на эффект superluminality при распространении фемтосекундного лазерного импульса в среде с наночастицами благородных металлов в предположении последовательного однофотонного поглощения (каскадного механизма поглощения) лазерного излучения, генерации второй гармоники и двухфотонной люминесценции. Проведен вывод уравнений математической модели в квазиоптическом приближении (нелинейное уравнение Шредингера) на основе полуклассического подхода с использованием уравнений для матрицы плотности и уравнений Максвелла. С помощью компьютерного моделирования изучен процесс генерации второй гармоники и двухфотонной люминесценции в результате каскадного механизма поглощения. Его результаты качественно совпадают с результатами физических экспериментов. Продемонстрирована возможность формирования множества ускоряющихся солитонов и их столкновения при условии сильной нелинейной зависимости поглощения от эллиптичности наночастиц, справедливой вблизи резонанса поглощения.
1.2. Замедляющиеся солитоны.
Продемонстрирована возможность формирования нового типа чирпированных солитонов - замедляющихся солитонов - при однофотонном поглощении лазерного излучения в среде с наностержнями благородных металлов. Построено приближенное аналитическое решение, описывающее наблюдаемый в компьютерном эксперименте замедляющийся солитон. С помощью аналитических методов показано, что замедляющийся солитон образуется вследствие наличия чирпа импульса, индуцируемого отрицательной фазовой решеткой.
2. Взаимодействие лазерного импульса с нелинейным фотонным кристаллом.
За отчетный период анализировалась локализация световой энергии в нелинейном фотонном кристалле на основе эффекта формирования солитонов нового типа (небрегговских солитонов) в этих структурах. В рамках проекта были развиты адаптивные искусственные краевые условия для 1 D, 2 D, 3 D нестационарных задач рассматриваемого класса. Для вычисления локального волнового числа вблизи искусственной границы нами предложено использовать интегральные соотношения, которые являются частями инвариантов задачи. Продемонстрирована эффективность адаптивных искусственных краевых условий при наклонном падении оптического излучения на 2 D фотонную структуру.
На основе компьютерного моделирования продемонстрирована возможность управления скоростью движения солитона внутри слоистой структуры за счет нелинейных свойств среды, окружающей фотонный кристалл, при движении солитона поперек слоев нелинейного фотонного кристалла. Показано, что окружающая среда, обладающая дефокусировкой, приводит к увеличению скорости поперечного движения солитона, тогда как фокусирующая окружающая среда приводит к уменьшению скорости поперечного движения солитона и даже к его полной остановке. Таким образом, предложен новый способ управления скоростью движения солитона внутри фотонного кристалла, с помощью изменения характеристики окружающей его среды. Такое изменение может быть реализовано за счет воздействия второго лазерного импульса. Это открывает новый путь к построению динамической оптической памяти, в частности.
Подчеркнем также, что в отличие от известных в литературе работ других авторов по аналогичным исследованиям поверхностных солитонов, в нашем случае солитон располагается на протяжении нескольких слоев, а также периодически часть его уходит из фотонного кристалла и возвращается обратно.
Предложен новый способ формирования солитонов фемтосекундного лазерного импульса. Известно, что такой импульс, не обладающий солитонной формой, будет испытывать осцилляции его интенсивности при распространении в среде с кубичной (самофокусирующей) нелинейностью, т.е. периодически будут возникать фокусы. Если на пути его распространения поставить фотонный кристалл, состоящий из слоев с разными оптическими свойствами, то на выходе из фотонного кристалла формируются суб-импульсы солитонной формы, которые распространяются без изменения в кубично нелинейной среде.
Исследованы спектральные свойства малопериодного лазерного излучения, прошедшего разупорядоченный (случайно флуктуируют параметры слоев) фотонный кристалл. Рассмотрение проводилось на основе 1D системы уравнений Максвелла. Цель исследований заключалась в возможности определения параметров импульса, при которых разупорядоченная слоистая структура не вносит существенных искажений в спектр импульса.
Создавалась компьютерная программа для взаимодействия лазерного импульса с 3D фотонным кристаллом, состоящим из сфер или других элементов. В ее основу положена консервативная разностная схема с использованием трехэтапного итерационного метода и новый класс искусственных краевых условий для уравнения Шредингера: адаптивных условий. Она требует больших вычислительных ресурсов (сотен тысяч узлов по каждой координате и десятки миллионов узлов по времени). Из промежуточных результатов следует, что локализация световой энергии в этой фотонной структуре за счет формирование солитонов также имеет место. При этом причина формирования – кубичная нелинейность, содержащаяся в элементах структуры.
3. Построение аналитического решения задачи взаимодействия четырех волн.
Продолжался анализ множественности решений задачи взаимодействия четырех волн.
Построена часть аналитического решения для вырожденного взаимодействия (когда интенсивности двух волн равны друг другу на входе в кристалл) четырех волн. Такое решение соответствует важному случаю, часто реализуемому на практике. Проведено подтверждение полученных аналитических решений на основе моделирования системы уравнений Шредингера в координатах (r,z,t) и выявлены области применимости полученных аналитических решений: они количественно совпадают с точным решением задачи, если, в частности, отсутствует мелкомасштабная модуляция решения.
4. Построение аналитического решения задачи генерации третьей оптической гармоники.
Построено аналитическое решение задачи генерации третьей гармоники, описываемой системой нелинейных уравнений Шредингера, в приближении длинных импульсов и плоских пучков. Наш подход, как и в задаче взаимодействия четырех волн, базируется на использовании инвариантов исходной системы дифференциальной задачи. Важным результатом проведенных исследований является предсказание бистабильного режима генерации третьей оптической гармоник. Таким образом, нами показано, что исходная задача обладает, по крайней мере, двумя решениями. Полученные аналитические решения сравнивались с результатами компьютерного моделирования, тем самым была продемонстрирована их справедливость.
5. Построение автомодельного решения со сложным нелинейным волновым фронтом.
В 2016 г. построены автомодельные решения задачи:
1. распространения двухмерных лазерных пучков в среде с нелинейным поглощением,
2. распространения светового одномерного (щелевого) пучка в среде с нестационарным нелинейным поглощением.
Основная черта найденных решений состоит в нелинейной зависимости волнового фронта пучка от пространственных координат или времени. При наличии подобной нелинейной зависимости волнового фронта такие решения можно назвать аберрационными солитонами или аберрационными автомодельными решениями. При нестационарном нелинейном поглощении такие решения также отсутствовали в литературе, и они впервые получены нами. Используя вышеприведенную терминологию их можно назвать аберрационно-чирпированные солитоны или автомодельные решения. Это новое направление нелинейной фотоники, которое создано в рамках выполнения проекта.
6. Построение инвариантов и консервативных разностных схем для рассматриваемых задач.
В отчетный период продолжалась работа над развитием численных методов для рассматриваемых задач. В наших расчетах используются консервативные разностные схемы, которые сохраняют разностные аналоги имеющихся инвариантов. Если же невозможно одновременно построить такие схемы, то предпочтение нужно отдавать разностным схемам, консервативным по третьему инварианту. При этом инвариант энергии сохраняется с третьим порядком по продольной координате. Учитывая, что схема обладает вторым порядком аппроксимации, изменения первого инварианта на сеточном решении отсутствует. Именно такую схему удалось построить для задачи генерации третьей оптической гармоники при распространении фемтосекундного импульса.
Исследована эффективность двухэтапного итерационного метода, который реализует консервативную разностную схемы для расчета волн переключения в полупроводнике в 2D случае полевого механизма реализации оптической бистабильности. В таком режиме имеют место большие градиенты решения в некоторой малой части рассматриваемой области. Проведено сравнение предложенных консервативных разностных схем, реализованных с использованием многостадийных итерационных процессов, с методами расщепления. Оно показало преимущества разработанных нами методов.
Начаты работы по построению консервативных разностных схем для обобщенного нелинейного уравнения Шредингера, описывающего распространения сверхкороткого фемтосекундного импульса длительностью не более 15 фемтосекунд. Отличительной чертой этого уравнения является линейный дифференциальный оператор, содержащий смешанные производные по пространственным координатам и времени наряду с их вторыми производными и первой производной по координате, вдоль которой происходит распространение светового пучка, а также вторую и первую производную по времени от нелинейного отклика. Найдены инварианты такого уравнения в случае распространения импульса в среде с кубичной нелинейностью. Для этого предложено оригинальное преобразование исходного уравнения к виду, не содержащему смешанных производных. Важным результатом проведенного анализа является уточнение постановки задачи в рамках данного уравнения: для существования закона сохранения энергии необходимо записать дополнительное условие на начальное распределение комплексной амплитуды пучка.
7. Взаимодействие фемтотосекундного лазерного импульса с полупроводником, в случае зависимости коэффициента поглощения светоиндуцированного электрического поля.
Показана возможность наблюдения переключения состояния системы полупроводник-оптическое излучение при субмикронном размере пластины полупроводника. При этом гистерезисная петля, соответствующая полевой оптической бистабильности, уменьшается вместе с толщиной полупроводника, достигая разности значений интенсивности переключения менее 10-6 . Ранее такая разность не достигалась ни в одном предложенном оптически бистабильном элементе.
Принципиально новым моментом при рассмотрения данного класса проблем является продемонстрированная нами возможность существования одновременно гистерезисных петель, соответствующих S-образной и N-образной гистерезисной петле в одном и том же бистабильном элементе. Это открывает возможность для реализации логических операций, что ранее также было неизвестно в литературе.
8. Терагерцовая фотоника и воздействия малопериодного лазерного импульсов с упорядоченными и разупорядоченными структурами.
8.1. Каскадный механизм.
Продолжались работы по исследованию взаимодействия малопериодного (широкополосного) импульса со средой, содержащей как резонансный, так и нерезонансный отклик на воздействия импульса. Изучено влияние скорости релаксации возбужденных молекул на интенсивность излучаемых частот вследствие их каскадного возбуждения; влияния на нее разупорядоченной структуры. Практически важный результат, который хотелось бы здесь отметить, состоит в том, что разупорядоченная структура не уменьшает спектральную яркость на этой частоте в отраженном сигнале. Анализировалась как многоуровневая (наиболее общий случай), так и двухуровневая среда. Во всех случаях каскадный механизм возбуждения высокоэнергетических уровней молекул имеет место. По сути, данная часть спектроскопии становится аналогична люминесцентной спектроскопии, но физический механизм реализации рассматриваемого случая существенно иной.
8.2. Терагерцовая фотоника разупорядоченной структуры.
Изучено влияние разупорядоченной структуры на спектроскопические характеристики анализируемого прошедшего и отраженного сигналов, не исследуя эмиссию вещества на частотах, соответствующих переходам с высокоэнергетических уровней в основное состояние, то есть не рассматривая эмиссионные спектры вещества. При этом рассматривались как результаты физического эксперимента, так и компьютерного моделирования, выполненного на основе формализма матрицы плотности и уравнений Максвелла.
Заметим, что наиболее распространенным способом подавления случайных возмущений сигналов является усреднение по случайным реализациям. В рассматриваемом классе задач наиболее интересен вопрос о подавлении флуктуаций спектров анализируемых сигналов при усреднении по реализациям. Выполненные исследования показали, что таким способом полностью подавить флуктуации невозможно и в спектре всегда присутствуют заметные ложные частоты поглощения, особенно в отраженном сигнале, который наиболее интересен для практики. Это имеет место как при взаимодействии с резонансно поглощающими средами, так и в присутствии среды, не обладающей такими переходами.
Проведен анализ влияния частоты падающего излучения, его амплитуды и длительности импульса на структуру импульса, отраженного от вещества или прошедшего через среду, скрытую разупорядоченной структурой.
8.3. Совершенствование спектроскопического метода динамического анализа спектров и демонстрация его эффективности в различных условиях.
Проблема получения правильной спектроскопической информации о веществе и способа ее получения выходит на первый план. В связи с этим продолжалась работа по повышению эффективности предложенного ранее нами метода спектрального динамического анализа. В этом методе происходит сравнение спектральной яркости эталонного сигнала и анализируемого сигнала на выбранных частотах в течение некоторого интервала времени. Для оценки присутствия признаков искомого вещества в исследуемом сигнале предлагается использовать интегральные корреляционные критерии. Именно они модифицируются, и изучается их эффективность в различных практических условиях.
Продемонстрировано несколько принципиальных положений терагерцовой спектроскопии.
1. На примере многих нейтральных веществ показано, что стандартный метод терагерцовой спектроскопии (основанный на сравнении спектров веществ) не может быть применен для идентификации веществ. В частности, он приводит к ложной диагностике опасных веществ в обычных бумажных салфетках, полупроводниковых элементах и во многих нейтральных веществах. При этом метод динамического спектрального анализа позволяет правильно определить вещество.
2. Сильно зашумленный сигнал представляет собой наиболее распространенный на практике случай для спектроскопического анализа в реальных условиях. Метод спектрального динамического анализа эффективно работает, даже если отношение амплитуды сигнала к шуму равно или даже менее единицы.
3. Новая модификация интегральных корреляционных критериев, состоящая в отказе от использования спектральной яркости исследуемого сигнала на выделенных частотах, позволяет существенно увеличить эффективность идентификации. При этом определяющую роль в нем теперь играют характеристики сигнала из базы данных.
4. Разработан простой метод предварительного отбора ложных частот, вызванных влиянием поглощения сигнала водяными парами.
|
| 4 |
1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. |
Математическое моделирование нелинейных явлений фотоники |
| Результаты этапа: За отчетный период построены инварианты обобщенного нелинейного уравнения Шредингера, описывающего распространение лазерных импульсов с длительностью в несколько фемтосекунд (до десяти фемтосекунд), в координатах (x,z,t), (r,z,t) как для финитных распределений комплексной амплитуды, так и для убывающих на бесконечности функций (совместно с их производными) по координатам, перпендикулярным к координате распространения импульса, и времени, а также для периодических краевых условий. Для этого предложено преобразования функций, которое позволило записать уравнение, не содержащее смешанные производные и производные от слагаемого, содержащего нелинейный отклик среды. Математическая модель дополнена также еще двумя ОДУ релаксационного вида с мнимым коэффициентом релаксации. Найден предельный переход инвариантов обобщенного нелинейного уравнения Шредингера к инвариантам известного (классического) нелинейного уравнения Шредингера.
Для реализации нелинейной разностной схемы используется предложенный нами многостадийный итерационный процесс, который позволяет реализовать экономичный метод организации вычислений без привлечения промежуточных слоев, как это делается в методах расщепления. Это позволяет также достичь свойства ее асимптотической устойчивости.
На примере системы двух (трех) нелинейных уравнений Шредингера в координатах (z,t), описывающей процесс преобразования частоты лазерного импульса, исследована еще одна принципиальная проблема: влияние консервативности разностной схемы по одному из инвариантов (инвариант сохранения энергии и гамильтониан) и сохранения другого инварианта с определенной точностью на точность решения задачи.. В результате компьютерного моделирования показано, что использование разностной схемы, консервативной по гамильтониану системы, предпочтительно, так как в этом случае расчеты более точны и на практике можно выбирать шаги сеток, которые существенно больше соответствующих шагов разностной схемы, консервативной по энергии системы.
Предложен метод введения искусственных волн с краевыми условиями, обеспечивающими полную перекачку энергии исходной (физической) волны в искусственную волну, для уменьшения амплитуды волны, отраженной от искусственной границы, введенной для нелинейного уравнения Шредингера. На основе компьютерного моделирования показано, что данный подход позволяет с ростом числа дополнительно введенных искусственных волн уменьшить амплитуду, отраженную от искусственной границы волны, до величины порядка аппроксимации.
Построена консервативная разностная схема для нелинейного уравнения Шредингера (кубичная нелинейность, координаты (z,t)), содержащего третью производную по времени от комплексной амплитуды. Разностная схема записана на пятиточечном шаблоне, в том числе и при аппроксимации уравнения вблизи границ.. Схема консервативна по инварианту энергии и гамильтониана системы. Она использовалась при проведении компьютерного моделирования распространения фемтосекундного чирпированного импульса, то есть импульса, имеющего изменение частоты во времени, в том числе для подтверждения существования солитонов с нелинейным чирпом (с нелинейной зависимостью частоты импульса от времени), в среде с двухфотонным поглощением. Автомодельное решение построено аналитически. Автомодельность решения имеет место при распространении импульса на конечной трассе, составляющей в ряде случаев несколько десятков характерной дисперсионной длины, что на практике превосходит многократно длину нелинейной среды.
Предложен практический способ формирования нелинейно чирпированных солитонов из импульса, имеющего начальную гауссову форму и неизменную во времени частоту, что открывает путь к их реализации на практике.
Найдены нелинейно чирпированные солитоны при распространении оптических фемтосекундных и пикосекундных первоначальных гауссовых импульсов в средах, содержащих золотые наностержни. Аналитически найденные солитоны подтверждены результатами компьютерного моделирования. Численные эксперименты показали, что сформировавшиеся в группе быстрые и медленные солитоны затем не переходят из одной группы в другую. Ускорение и замедление отдельных солитонов может достигать значительных величин.
Продемонстрирована эффективность и экономичность применения многоэтапного/ многостадийного (число этапов определяется размерностью пространства) итерационного метода для многомерного нелинейного уравнения (систем уравнений) Шредингера для произвольных краевых условий и зависимости коэффициентов уравнений Шредингера от пространственных координат с целью реализации консервативности по Гамильтониану разностных схем. Его применение позволяет сохранить свойство асимптотической устойчивости разностной схемы.
Построено решение систем нелинейных ОДУ (3-го порядка), описывающих генерацию третьей гармоники фемтосекундными импульсами в приближении длинных импульсов и плоских волн (т.е. без учета вторых производных в уравнении Шредингера) с использованием инвариантов задачи для среды, свойства которой зависят от пространственной координаты при достаточно медленном изменения параметров среды. Показана возможность реализации переключения из одного состояния генерации в другое вдоль среды. Переключение будет осуществляться “скачком”, что приведет к появлению кинков зависимости эффективности генерации утроенной частоты от координаты распространения импульса.
Обнаружен эффект самозахвата волн на разных частотах при исследовании процесса одновременной генерации второй гармоники и суммарной частоты.
Найдена аналитическая зависимость изменения абсолютной фазы взаимодействующих волн при генерации второй гармоники в среде с квадратичной и кубичной нелинейностью в приближении длинных импульсов и плоских волн, но не используя приближения заданных амплитуд.
Продемонстрирована возможность реализации нелинейной локализации энергии светового импульса в различных слоях одномерного фотонного кристалла при управлении чирпом светового импульса.
Разупорядоченность фотонной структуры двояко влияет на эффект локализации световой энергии. Она изменяет структуру запрещенных и прозрачных частот фотонного кристалла и это приводит к ее отрицательному влиянию на локализацию. С другой стороны, известен механизм Андерсоновской локализации, которая способствует проявлению нелинейной локализации в смысле уменьшения коэффициента нелинейности уравнения.
Проведено компьютерное моделирование взаимодействия малопериодного терагерцового импульса с разупорядоченной структурой на основе построенной консервативной конечно-разностной схемы для системы 1D уравнений Максвелла в рамках формализма матрицы плотности. В результате, обнаружено несколько принципиальных эффектов, которые могут существенно повлиять/привести к пересмотру сложившихся представлений в терагерцовой и нелинейной спектроскопии:
1. Частоты поглощения вещества могут “преобразовываться” при генерации новых частот вследствие нелинейного взаимодействия импульса со средой и конечной ширины ее спектральной линии поглощения. В результате, например, при удвоении частоты, на которой имеет место поглощение энергии импульса, на второй гармонике также будет наблюдаться провал в спектре, который может быть рассмотрен как наличие поглощения на этой частоте, хотя реально его нет. С другой стороны, этот эффект открывает новые возможности для идентификации веществ, используя предложенные нами интегральные корреляционные критерии, поскольку спектральная динамика линии поглощения на основной частоте и ее образ на удвоенной частоте (например) коррелируют между собой с величиной, близкой к единице.
2. Существенное влияние оказывает длительность воздействующего импульса на генерацию новых частот в среде с энергетическими переходами, на которых осуществляется поглощение энергии терагерцового импульса. При уменьшении длительности воздействующего импульса начинает генерироваться некоторый диапазон частот вместо, например, удвоенной частоты. Это приводит к существованию критической длительности импульса (не только терагерцового диапазона частот), который используется, например, в технологии нелинейной локации для обнаружения присутствия полупроводников в исследуемом объекте, при уменьшении которой невозможно идентифицировать присутствие полупроводника по второй гармонике.
Компьютерное моделирование в трехмерной (аксиально-симметричной) постановке попутного взаимодействия четырех волн. Интенсивность оптических импульсов в их центре описывается соответствующими аналитическими формулами при выполнении некоторых условий на коэффициенты дифракции и дисперсии, входящие в уравнения. Обнаружено существенно различное влияние пространственного оператора Лапласа (описывающего дифракции пучков) и аналогичного оператора по времени (описывающего дисперсионные эффекты): дифракция пучка более сильно влияет на реализацию режима сжатия импульсов и пучка вследствие присутствия в уравнении слагаемых, описывающих процессы само- и кросс-модуляции световых импульсов.
Найдена одна из возможных форм нелинейно чирпированного автомодельного решения при распространении импульса в прозрачной среде с нестационарным откликом. Изменение его фазы происходит по кубическому закону во времени, а форма импульса также несимметричная.
При исследовании аберрационных солитонов (или автомодельных решений) в случае их распространения в нелинейно поглощающих средах показано, что их профиль не может быть представлен в виде произведения известных профилей классических солитонов, зависящих от отдельных пространственных координат.
Для задач терагерцовой спектроскопии в присутствии разупорядоченной оболочки предложен новый способ идентификации веществ, основанный на эмиссии вещества вследствие каскадного механизма возбуждения энергетических уровней молекул, для которых недостаточно энергии квантов излучения, первоначально содержащихся в падающем ТГц импульсе.
Продемонстрировано аномальное влияние спектрального разрешения прибора /системы на идентификацию веществ в случае зашумленного сигнала. Для устранения ошибок идентификации необходимо последовательно УМЕНЬШАТЬ спектральное разрешение и сопоставлять его с шириной спектральной линии эталонного вещества из базы данных.
Сформулирована новая постановка задачи при исследовании оптической бистабильности в случае взаимодействия фемтосекундного импульса с полупроводником. Она учитывает продольную и поперечную дифракцию пучка. Показано ускорение (быстрый свет) распространения как отраженного, так и прошедшего в полупроводник светового импульса. Обнаружен эффект неподвижности части лазерного импульса вблизи поверхности полупроводника, на которую он первоначально падает.
Продемонстрировано существование одновременно двух типов гистерезисных зависимостей: S - и N - типов при прохождении светового импульса через полупроводник. Это приводит к сложной временной форме прошедшего импульса, регистрируемого на выходе из полупроводника.
|
| 5 |
1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. |
Математическое моделирование нелинейных явлений фотоники |
| Результаты этапа: Записана новая модель, описывающая распространение фемто- и пикосекундных импульсов в среде, содержащей наностержни благородных металлов для случая квазистационарного отклика среды. Она описывает распространение лазерного импульса нелинейным уравнением Шредингера, содержащим первые и вторые производные по времени от комплексной амплитуды, коэффициенты при которых зависят от изменения эллиптичности наностержней. Эволюция эллиптичности наночастиц, в свою очередь, зависит от интенсивности лазерного импульса. Уравнение Шредингера содержит также нелинейные слагаемые, описывающее фазовую самомодуляцию импульса, нелинейное поглощение световой энергии, а также так называемый процесс self-steepening лазерного импульса. Получены условия, при которых новая математическая модель переходит в модель с постоянными коэффициентами при производных по времени от комплексной амплитуды.
Построена новая математическая модель, описывающая процесс удвоения оптической частоты в среде с квадратичной нелинейностью для фемтосекундного импульса, содержащего несколько периодов колебаний волны, и получены условия, при которых эта система уравнений справедлива. Отличительной чертой данного подхода является наличие смешанных производных по пространственным координатам и времени. Предложено оригинальное преобразование, на основе которого построены инварианты задачи.
Для линейного обобщенного уравнения Шредингера в координатах (x,z,t), содержащего смешанные производные, построены два частных решения, основные части которых содержат функции Эйри от сложного аргумента пространственных координат и времени. Важно также подчеркнуть, что для начального гауссова распределения интенсивности светового импульса, для которого существенно влияние дисперсии третьего порядка (третьей производной по времени от комплексной амплитуды), после прохождения определенной трассы в оптическом волокне может сформироваться форма импульса в виде функции Эйри, но на ограниченном временном интервале.
Разработан высоко эффективный спектроскопический метод для обнаружения спектральных характеристик вещества по малопериодному терагерцовому сигналу, отраженному от образца с шероховатой поверхностью. Универсальность развиваемого подхода была продемонстрирована также на решении задачи идентификации компонент вещества.
Предложен новый способ определения частот поглощения веществ, принадлежащих терагерцовому диапазону частот, через конверсию его частот.
Построена математическая модель распространения лазерного импульса в среде с тремя энергетическими уровнями в случае ее отклика на частоте, близкой (или кратной при многофотонном поглощении) к несущей частоте волнового пакета. В литературе такой отклик вещества называется люминесценцией. Нами обнаружены периодические решения в виде эллиптических функций, решение в виде обратного гиперболического косинуса, и сингулярные периодические решения в виде стационарной или бегущей волны, выражаемые через эллиптические функции или функцию тангенса (то есть периодические решения, неограниченные на периоде). Сингулярные периодические решения соответствуют темным солитонам (имеющим минимум интенсивности в его центре) ограниченной интенсивности на конечном интервале времени (или пространственной координаты). Среди решений присутствуют и нелинейно-чирпированные солитоны, бистабильный режим существования двух солитонных решений, существование связанных солитонов в виде обратных гиперболических косинусов на обеих частотах, но распространяющих навстречу друг другу на временной оси.
Доказано существование нового инварианта системы 1D уравнений Максвелла записанных совместно с уравнениями относительно матрицы плотности для многоуровневой среды. На его основе построена консервативная разностная схема для этой задачи. Используя построенную разностную схему, было показано, что, используя высокочастотное эмиссионное (люминесцентное) излучение, можно идентифицировать вещество, находящееся под разупорядоченной структурой. Оно не искажается для наблюдателя.
Обнаружено упругое взаимодействие нелинейно-чирпированных солитонов, самосформировавшихся при распространении первоначального немодулированного гауссова пучка в среде, содержащей наночастицы золота. При этом некоторые солитоны существенно ускорялись и имели скорость, превышающую скорость движения импульса в линейной среде с наночастицами, т. е. имел место эффект superluminality.
Показана возможность формирования нелинейно-чирпированных солитонов при нестационарном отклике среды, содержащей наночастицы. Состояние среды описывалось в рамках формализма матрицы плотности. При этом продемонстрировано также, что появление нелинейно – чирпированных солитонов возможно и при нестационарном отклике нелинейной среде, не содержащей наночастицы.
В приближении плоских волн и длинных импульсов построены точные аналитические зависимости фаз взаимодействующих волн, и их разности, при генерации второй гармоники в среде с одновременной квадратичной и кубичной нелинейностью от координаты распространения. Это дало возможность построить решения в случае импульсов с неоднородной временной формой, которое совпадает с численным решением соответствующей системы нелинейных уравнений Шредингера на трассе распространения, превышающей несколько дисперсионных длин. Для большинства практических случаев данное решение будет полностью совпадать с точным решением и экспериментальными результатами из-за конечности длины кристалла.
При распространении лазерного излучения в среде с квадратичной и кубичной нелинейностью построена математическая модель взаимодействия трех волн: основной частоты, удвоенной частоты и утроенной частоты. На основе компьютерного моделирования обнаружен режим одновременной генерации (comb generation) второй и третьей гармоники оптического излучения. При этом максимальные интенсивности всех трех волн в нелинейной среде изменялись синхронно, начиная с некоторого сечения нелинейной среды. Это открывает возможность вместо многофотонного поглощения использовать поглощение квантов света на удвоенной, утроенной и основной частотах, а также их комбинацию (так как они могут распространяться в связанном состоянии) для возбуждения высокоэнергетических уровней атомов.
На основе компьютерного моделирования взаимодействия двух фемтосекундных импульсов на основной и утроенной частоте в однородной среде предсказано два эффекта. Первый из них состоит в формировании суб-импульсов суб-фемтосекундной длительности, имеющих солитонную форму с нелинейным чирпом. Второй эффект заключается в самозахвате этих двух волн при определенных условиях взаимодействия.
Разработаны адаптивные искусственные краевые условия для многомерного нелинейного уравнения (систем уравнений) Шредингера с периодическими коэффициентами. Это уравнение описывает взаимодействие фемтосекундных импульсов с фотонными кристаллами. Поэтому вне кристалла имеет место линейное распространение световой волны, и для него записываются эффективные адаптивные краевые условия, которые зависят от локальных значений компонент волнового числа вблизи искусственной границы. В частности, был предложен явный и условно устойчивый комбинированный метод, построенный на основе неявной схемы Кранка-Николсона и метода Розенброка, для одномерного и двухмерного нелинейного уравнения Шредингера.
Предсказано существование аберрационных поверхностных солитонов в фотонном кристалле в 1D и 2D случаях. Их формирование происходит вблизи поверхности элементов фотонного кристалла: часть световой энергии находится в кристалле, часть вблизи его поверхности. Положением поверхностного солитона можно управлять, изменяя модуляцию несущей частоты падающего импульса.
Предложена математическая модель для выяснения влияния продольной и поперечной дифракции светового импульса на формирование доменов высокой концентрации свободных зарядов 2D и 3D полупроводника, состояние которого описывается уравнением Пуассона относительно потенциала электрического поля, уравнениями относительно концентрации свободных электронов и дырок совместно с нелинейным уравнением Шредингера относительно комплексной амплитуды, при воздействии фемтосекундного лазерного импульса. Предсказано появление так называемого быстрого и медленного света при взаимодействие лазерного импульса с границей домена высокого поглощения. Таким образом, показано принципиальное влияние дифракции оптического излучения на их формирование.
Для рассмотренных задач взаимодействия лазерного импульса с полупроводником построены и обоснованы консервативные разностные схемы. Доказана неотрицательность и ограниченность соответствующих функций дифференциальной и разностной задач. Доказана консервативность схемы и ее консервативность на итерациях для предложенного итерационного процесса. Доказана сходимость итерационного процесса. Данные исследования проведены в случае зависимости коэффициента поглощения как от концентрации свободных носителей заряда, так и от потенциала электрического поля. Важно подчеркнуть, что в последнем случае при отсутствии внешнего электрического поля имеют место граничные условия Неймана относительно потенциала электрического поля, и, соответственно, решение этого уравнения определено с точностью до константы.
Учитывая зависимость коэффициента поглощения от потенциала электрического поля, получим неединственность решения исходной задачи, обусловленную неединственностью решения задачи относительно потенциала электрического поля. Для устранения этой нефизической множественности решений сформулировано дополнительное условие на потенциал электрического поля, которое включается в постановку задачи. Эффективность построенных численных методов в сочетании с оригинальным многостадийным итерационным процессом продемонстрирована на основе сравнения их с широко распространенным в литературе методом расщепления.
Разработаны искусственные краевые условия с адаптивным изменением мгновенной частоты волнового пакета (или проекций волнового числа) вблизи искусственной границы для нелинейного уравнения Шредингера. Для вычисления этих характеристик использовались выражения, которые являются частями инвариантов задачи.
Продемонстрирована эффективность многостадийного итерационного метода при выполнении компьютерного моделирования в двумерном или трехмерном пространстве на основе консервативных разностных схем.
Проведено распараллеливания выполнения программ на серверах фирмы Dell с использованием технологии OpenMP для расчетов взаимодействия лазерного излучения с полупроводником . Удалось достичь 15-кратного ускорения выполнения программы на 64 процессорах.
|
