ИСТИНА

В ходе выполнения НИР проводится построение и исследование новых математических моделей процессов распространения электромагнитных волн в неоднородных средах, нелинейной оптики, процессов тепломассопереноса. Разрабатываются численные методы, алгоритмы и программы для решения ряда фундаментальных и прикладных проблем на современной вычислительной технике, включая параллельные процессы и алгоритмы с применением суперкомпьютеров.

Разработан и реализован метод вычисления вектора напряженности электрического поля на границах разрыва проводимости в классе кусочно-однородных моделей. Разработанная методика применена для решения прямых и обратных задач электрокардиографии. На основе метода интегральных соотношений разработана новая методика математического моделирования нестационарных электромагнитных волн в неоднородной среде. Разработан итерационный метод аналитического продолжения потенциала, на основе которого создана программа продолжения гравитационного поля в обратной задаче гравиоразведки. Разработаны алгоритмы для моделирования течений несжимаемой жидкости в трехмерных областях сложной формы на параллельных вычислительных системах. Создано программное обеспечение для визуального исследования результатов моделирования. Исследованы проекционно-разностные аппроксимации квазилинейных параболических операторно-дифференциальных уравнений, получены оценки сходимости в весовых нормах. Получены условия устойчивости бифуркационных периодических решений параболических ФДУ, моделирующих динамику нелинейных оптических систем в кольце с запаздыванием. Проведено исследование процесса распространения светового импульса с учетом дисперсии третьего порядка и нелинейного поглощения, описываемого системой квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка. Для разностной схемы, построенной для уравнения теплопроводности с несамосопряженными краевыми условиями, содержащими комплексный параметр, выделены области устойчивости и получен критерий устойчивости по начальным данным. Проведены исследования в области алгоритмов и структур данных для обеспечения эффективного параллельного и асинхронного доступа к многомерным массивам. Разработаны алгоритмы расчета затенения/освещения солнечных батарей Международной космической станции, на основе которых проведено моделирование с целью оценки выработки электроэнергии солнечными батареями. Разработан и реализован метод интегральных уравнений для численного решения трехмерных краевых задач в средах с переменной проводимостью. Разработан метод расчета постоянных распространения в волноведущих системах, основанный на спектральном представлении полей в частичных областях. При этом получены интегральные уравнения для скачков полей и их производных на границах частичных областей без использования интегральных представлений полей через фундаментальные решения. Такой подход сделал возможным обоснование метода решения задач теории волноведущих систем. Проведена оптимизация алгоритмов вычисления дифференциальных инвариантов для распознания границ линий на цветных изображениях и извлечения информационных признаков в задачах обработки изображений. Проведен статистический анализ индивидуальных и групповых данных ЭКГ-изображений. Для моделей поточечной фурье-фильтрации получена оценка скорости сходимости проекционно-разностной схемы. Предложены новые модели операторной фурье-фильтрации для квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений нелинейной оптики, показана возможность использования матричных фильтров для конструирования собственных гармоник наперед заданной формы. Предложен и исследован регуляризованный биспектральный метод восстановления изображений для задач микроскопии. Численно обнаружен эффект подавления искажений в оптических системах с интегральной обратной связью. Проведено исследование процесса распространения светового импульса с учетом нелинейного поглощения, описываемого системой квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка. Алгоритмы для моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости в трехмерных областях сложной формы модифицированы для выполнения на параллельных вычислительных системах из нескольких графических процессоров. Разрабатываются методы для оценки погрешности расчетов площади освещенных солнечных батарей Международной космической станции. Проведены работы по созданию и практическому применению облачных технологий для обработки и визуализации больших массивов данных. В рамках совместных проектов с Microsoft Research созданы приложения для решения задач вычислительной экологии и визуализации больших объемов данных. Доказаны теоремы единственности и существования классических решений трехмерных краевых задач для уравнения эллиптического типа в областях с кусочно-непрерывной проводимостью. Построен и реализован итерационный метод решения этого класса задач на основе граничных интегральных уравнений. Для решения интегральных уравнений в задачах дифракции электромагнитных волн на тонких экранах разработан численный метод, основанный на аппроксимации решения многочленами Чебышёва 1-го рода и применении проекционных соотношений. Проведено обоснование сходимости метода, получены новые оценки погрешности метода. Исследованы вопросы существования и единственности обобщенных решений в моделях операторной Фурье-фильтрации для квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений нелинейной оптики, а также условия возникновения бифуркации Андронова-Хопфа. Исследована эффективность регуляризованного биспектрального метода восстановления изображений для различного типа искажений. Численно исследован эффект подавления искажений в оптических системах с интегральной обратной связью. Для параболических функционально-дифференциальных уравнений, описывающих вращающиеся одномерные и двумерные волны, построена нормальная форма бифуркации Андронова-Хопфа. Проведено исследование процесса распространения светового импульса с учетом двухфотонного поглощения, моделируемого системой квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка с адаптивными искусственными граничными условиями. Предложен и реализован высокопроизводительный вариант алгоритма для интерполяции данных в нерегулярных точках на сфере с применением диаграмм Вороного. Создана библиотека подпрограмм для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработан и программно реализованы метод гиперсингулярных интегральных уравнений для исследования векторных пространственных задач дифракции электромагнитных волн на системе идеально проводящих тел и незамкнутых поверхностей. Исследован ряд математических моделей речевой акустики. На основе метода граничных интегральных уравнений изучены границы применимости классической модели (сфера) в задачах электроэнцефалографии. Для задач дифракции электромагнитных волн на тонких экранах разработан метод сведения краевой задачи к интегральным уравнениям теории метагармонического потенциала. Разработан новый численный метод решения интегрального уравнения теории потенциала. Для приближенного решения получены оценки скорости сходимости метода. Разработана методика исследования подавления искажений в нелинейных оптических системах с запаздыванием в контуре обратной связи, основанная на построении упрощенной маломодовой модели, описывающей динамику Фурье-гармоник на основе ФДУ с запаздыванием, в сочетании с аналитическим анализом устойчивости исходного параболического ФДУ с запаздыванием и поворотом пространственного аргумента. Проведено аналитическое и численное исследование эффекта подавления искажений для модели нелинейной оптической системы в случае тонкого кольцевого слоя. Разработана методика решения некоторых обратных задач лазерной диагностики кровяных телец на основе метода регуляризации Тихонова и специального вида априорной информации об их распределении. Исследованы основные функциональные свойства отображения операторной Фурье-фильтрации в различных функциональных пространствах, а также установлена разрешимость соответствующей начально-краевой задачи, моделирующей динамику фазовой модуляции в оптической системе с Фурье-фильтром в контуре обратной связи. Численно исследованы особенности биспектрального метода для решения некоторых обратных задач восстановления изображений в офтальмологии. Исследована зависимость интенсивности сигнала от коэффициента дисперсии и коэффициента поглощения для процесса распространения фемтосекундных импульсов в условиях двухфотонного поглощения. Предложены методы оценки неопределенности при интерполяции климатических данных заданных на регулярных и нерегулярных сетках. Предложенный метод отличает высокая производительность и устойчивость к ошибкам округления. Алгоритмическая реализация метода включена в бета-версию сервиса FetchClimate. Изучены особенности применения метода интегральных уравнений при исследовании математических моделей магнито- и электроэнцелографии. Исследована разрешимость трехмерной задачи Неймана для уравнения Пуассона в кусочно-однородных проводящих средах. Разработаны численные и аналитические методы исследования подавления искажений в оптических системах с нелокальной обратной связью, описываемые квазилинейными функционально-дифференциальными уравнениями параболического типа с запаздыванием и типа Вольтерра в условиях различных видов регулярных и турбулентных искажений. Разработаны методы решения обратных задач двумерной и трехмерной деконволюции, возникающих в офтальмологии. Предложен алгоритм восстановления сечений глазного дна, находящихся на различной глубине. Установлена корректность начально-краевой задачи для параболического функционально-дифференциального уравнения диффузии с операторной Фурье-фильтрацией. Показана дифференцируемость целевого функционала в задаче управления операторным Фурье-фильтром, а также сходимость соответствующего метода проекции градиента. Для задачи математического зондирования локальной цилиндрической поверхности, лежащей на границе раздела различных сред, разработан численный метод и алгоритм исследования модельной задачи. Проведена реализация разработанного метода для задач дифракции волн. Проведено исследование процесса распространения лазерных импульсов в среде с нелинейным поглощением. Проведены расчеты для различных значений параметров задачи и исследована зависимость амплитуды и энергии отраженного импульса от коэффициента поглощения и толщины слоя. Разработана программная среда для моделирования рассеяния монохроматических световых волн на частицах сложной формы, имитирующих эритроциты. Разработан и программно реализован численный метод решения обратной задачи нахождения неизвестных распределений эритроцитов по данным лазерной дифрактометрии. Для разностного оператора, возникающего в результате аппроксимации уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами и несамосопряженными граничными условиями, получена система Штурма для характеристического многочлена. Предложен и реализован алгоритм интерактивной визуализации больших массивов данных методом маркеров. Создан прототип системы хранения и обработки больших многомерных массивов в облачной среде без использования вычислений на сервере.