| 1 |
1 января 2013 г.-31 декабря 2013 г. |
Анализ сложных стохастических моделей, описываемых случайными полями |
| Результаты этапа: В рамках проекта получен ряд взаимосвязанных результатов, описывающих предельное поведение сложных стохастических систем. Некоторые из них носят приоритетный характер. Так, при исследовании массивов данных высоких размерностей установлен критерий сильной состоятельности оценок ошибки прогноза бинарного случайного отклика, а также доказана асимптотическая нормальность введенных регуляризованных оценок. Эти результаты дают строгое обоснование процедуре идентификации наиболее значимых факторов, от которых зависит изучаемый отклик. Тем самым появилась возможность приложения проведенных исследований к анализу генетических рисков сложных заболеваний. Кроме того, большое внимание уделялось выявлению закономерностей предельного поведения случайных геометрических объектов, порожденных как гауссовскими, так и негауссовскими полями. На этом пути удалось установить новые функциональные предельные теоремы, описывающие локальную структуру поверхностей уровня случайного поля. Важную роль играло также изучение нелинейных марковских цепей, а также решений стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием. Для них получены неулучаемые условия сходимости (маргинальных) распределений к инвариантной мере в метрике Канторовича-Васерштейна. Наряду с этим найдены новые условия сходимости в более сильной метрике полной вариации, с приложениями к анализу поведения решений уравнения Власова-Маккина. Указанное уравнение играет важную роль в теории плазмы. Сложные структуры описывались и в терминах случайных графов. Для модели Эрдеша-Реньи доказаны новые варианты асимптотических законов нуля или единицы для свойств первого порядка, определяющих структуру графа. Продолжались исследования эталонных моделей систем независимых случайных элементов, вовлекающие различные вероятностные метрики. Начато изучение алгоритмов выявления ненулевых компонент разреженных векторов высокой размерности, которые важны для анализа стохастических моделей, использующих зашумленные сигналы. В 2013 году в рамках работ по проекту защищена кандидатская диссертация, официально квалифицированная Диссертационным советом Д.501.001.85 при МГУ имени М.В.Ломоносова как выдающаяся.
Таким образом, намеченная на 2013 год программа работ выполнена полностью. При этом удалось продвинуться и в ряде смежных направлений исследования. |
| 2 |
1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. |
Анализ сложных стохастических моделей, описываемых случайными полями |
| Результаты этапа: Установлен ряд приоритетных результатов (отраженных в 19 работах) в области анализа сложных стохастических структур. Эти результаты опубликованы в ведущих математических журналах и доложены на 12 крупных международных конференциях. Кроме того, в рамках исследований, намеченных по плану, А.П.Шашкиным написана докторская диссертация "Предельные теоремы для функционалов от слабо зависимых случайных полей", которая в мае 2014 года успешно прошла предзащиту на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета МГУ. Среди основных результатов авторского коллектива укажем следующие. Найден критерий сильной состоятельности оценок функционала ошибки предсказания небинарного случайного отклика, основанных на использовании обучающей выборки наблюдений, штрафной функции и процедуры кросс-валидации. Установлен новый вариант центральной предельной теоремы для массивов случайных величин, обладающих свойством перестановочности. С ее помощью при весьма широких условиях доказана асимптотическая нормальность регуляризованных оценок функционала ошибки прогноза небинарного случайного оклика. Осуществлено компьютерное моделирование сложных стохастических систем и показана эффективность развиваемого подхода идентификации набора значимых факторов. Получено новое моментное неравенство для сумм элементов мультииндексированных случайных полей, зависимость которых задана ковариационными неравенствами для липшицевых функций. Оно является наиболее общим неравенством подобного вида для ассоциированных случайных полей и их обобщений. При этом допускается суммирование по индексирующим множествам произвольной конфигурации. Показано, что использование этих оценок для частных сумм мультииндексированных слагаемых оказывается полезным при распространении на обширные классы множеств теорем о сходимости эмпирических процессов и их аналогов, возникающих для полей с непрерывным пространственным аргументом. Также установлена новая форма закона повторного логарифма для ассоциированных случайных полей. А именно, дано полное описание возможных значений верхнего предела нормированных частных сумм в зависимости от ковариационной функции поля и вида множества, по которому берется предел. Эта теорема является новой даже в случае независимых слагаемых. Существенные продвижения имеются и в области исследования свойств случайных графов. Найдено наибольшее число a из интервала (0,1), для которого случайный граф Эрдеша-Реньи с вероятностью проведения ребра, являющейся степенной функцией от числа вершин с показателем a, не подчиняется k-кратному асимптотическому закону нуля или единицы. Более того, расширено множество известных элементов спектра кратного асимптотического закона нуля или единицы. Найдены границы спектра при достаточно больших k, а также наименьшая кванторная глубина исследуемых свойств первого порядка степенных случайных графов, при которой спектр бесконечен. Опровергнута гипотеза Спенсера о том, что вблизи нуля и единицы нет предельных точек рассматриваемого спектра. Разработан подход к оцениванию разреженных сигналов, обладающий свойствами оптимальности, которые не могут быть достигнуты в неадаптивной схеме. |
| 3 |
1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. |
Анализ сложных стохастических моделей, описываемых случайными полями |
| Результаты этапа: В рамках изучения сложных стохастических моделей получены необходимые и достаточные условия сильной состоятельности оценок показателя качества прогноза функции дискретного случайного отклика при применении обобщённой штрафной функции и кросс-валидации. Установлен новый вариант центральной предельной теоремы для упомянутого показателя (функционала ошибки предсказания) при выборе штрафной функции, предложенной в работе Д.Велез. При этом самостоятельный интерес представляют результаты, доказанные для массивов перестановочных величин. Так, найдено предельное распределение максимума частичных сумм перестановочных случайных величин при растущем числе слагаемых. Установлен вариант центральной предельной теоремы для массивов перестановочных величин со случайным числом элементов в строке. Предложен новый двухэтапный метод отбора значимых признаков и классификации. В качестве первого этапа отбора данный метод использует сортировку наборов предикторов по величине определенной статистики PAI (phenotype-associated information), введенной П.Чанда. Затем (для дальнейшего отбора признаков и классификации) к наборам с наибольшим значением величины PAI применяется MDR-EFE метод, развитый А.В.Булинским и А.С.Ракитько. Проведена проверка предложенного метода на модельных данных, а также осуществлено сравнение с известными методами, в частности, MDR и параметрическими методами LASSO и Group LASSO, а также с их модификациями, использующими MDR-EFE в качестве второго этапа отбора. Установлено, что в случае моделируемых данных, для которых характер зависимости между откликом и предикторами сильно отличается от линейного, предложенный метод производит более точный отбор значимых признаков. Большое внимание было уделено моделям, описываемым случайными графами. Доказаны новые результаты, относящиеся к асимптотическому закону 0 или 1 для случайного графа Эрдеша-Реньи. А именно, исследованы процедуры проведения ребер в упомянутом графе, которые обеспечивают выполнение (или невыполнение) этого закона. Также улучшен порядок оценки роста максимальной предельной точки спектра свойств первого порядка для рассматриваемых случайных графов. Доказано, что наименьшая кванторная глубина формулы первого порядка, выражающей свойство с бесконечным спектром, равна либо 4, либо 5. Ряд полученных продвижений относится к анализу случайных полей (и процессов), образованных зависимыми величинами. В этой связи отметим новые моментные неравенства для функций от, вообще говоря, нестационарных ассоциированных случайных полей. Кроме того, установлен новый вариант функциональной предельной теоремы для нормированных разностей между решением задачи Коши, содержащей быстрое движение в виде стационарного ассоциированного процесса, и решением соответствующей усредненной задачи. Все задачи, намеченные в рамках проекта, выполнены.
|
