| Результаты этапа: Полученные за отчетный период научные (научно-технические) результаты:
(1) (П.А.Бородин). Доказано существование элемента в действительном пространстве l_2({\mathbb Z}), суммы сдвигов которого плотны во всех действительных пространствах l_p({\mathbb Z}) при p\ge 2, а также в действительном пространстве c_0({\mathbb Z}). Это оказалось возможным благодаря С.В.Конягину, который установил существование последовательности тригонометрических многочленов с целыми неотрицательными коэффициентами, сходящейся к нулю почти всюду (связь между этой задачей из гармонического анализа и задачей о плотности сумм сдвигов отмечалась в Заявке проекта). Ограничение p\ge 2 диктуется техникой доказательства; случай 1<p<2 остался неразобранным. Подчеркнем, что доказано лишь существование такого вектора без предъявления его самого. Впрочем, удалось предъявить вектор, замыкание сумм сдвигов которого есть собственное бесконечномерное линейное подпространство в l_2({\mathbb Z}). Показано также, что в комплексном пространстве l_2({\mathbb Z}) нет вектора, суммы сдвигов которого были бы плотны в этом пространстве. Результаты опубликованы.
(2) (П.А.Бородин, К.С.Шкляев). Доказано, что наипростейшие дроби с полюсами на двух параллельных прямых комплексной плоскости плотны в пространстве AC(K) функций, непрерывных на K и аналитических внутри K, для всякого не разбивающего плоскость компакта K, лежащего между этими прямыми. Это первый результат о приближении внутри области наипростейшими дробями с полюсами на границе области для неограниченной области. Публикация пока не готовилась в связи с намерением обобщить в 2019 г. этот результат с частного случая полосы на широкий класс неограниченных областей. Результат доложен на нескольких конференциях.
(3) (П.А.Бородин). Для заданной функции h, аналитической в единичном круге D, исследовался вопрос о плотности в пространстве A(D) аналитических в D функций (с обычной топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах D) множества S(h,E) сумм вида \sum_{k=1}^N \lambda_k h(\lambda_k z) с параметрами \lambda_k\in E, где E --- компактное подмножество в \overline{D}. Доказаны два утверждения.
а) Пусть компакт E\subset \overline{D} таков, что 0\notin \widehat{E}. Тогда для всякой функции h\in A(D) суммы S(h,E) не плотны в пространстве A(D).
б) Пусть компакт E\subset \overline{D} таков, что 0\in \widehat{E}\setminus E. Тогда для всякой функции h\in A(D), все коэффициенты ряда Тейлора которой отличны от нуля, множество S(h,E) плотно в A(D).
Здесь \widehat{E} обозначает объединение компакта E со всеми ограниченными компонентами его дополнения.
Приближения такими суммами впервые исследовал В.И.Данченко (2008). В частности, он доказал, что если все коэффициенты ряда Тейлора функции h\in A(D) отличны от нуля, то множество S(h,|\lambda|<2) всюду плотно в A(|z|<1/2).
В не покрываемом утверждениями а) и б) случае, когда точка 0 является граничной точкой множества E, суммы S(h,E) могут быть как плотны, так и не плотны в пространстве A(D), и эта плотность зависит от локального "устройства" E вблизи 0 (соответствующие примеры приведены в работе). Техника доказательств использует некоторые идеи Я.Кореваара (1964), уже опробованные П.А.Бородиным в случае приближения наипростейшими дробями. Результаты опубликованы.
(4) (Л.Ш.Бурушева). Доказано, что в действительном банаховом пространстве X, реализующем кратчайшие сети для всех своих конечных подмножеств, длина кратчайшей сети зависит только от попарных расстояний между точками тогда и только тогда, когда X либо предуально к L_1, либо гильбертово. Получены даже более точные результаты. Именно, в нестрого выпуклом банаховом пространстве X длина кратчайшей сети (связного графа минимальной длины, затягивающего данный набор точек) для всякой четверки точек зависит только от попарных расстояний между ними тогда и только тогда, когда X предуально к L_1 (является пространством Линденштраусса). Далее, в строго выпуклом банаховом пространстве X длина кратчайшей сети для всякой тройки точек зависит только от попарных расстояний между ними тогда и только тогда, когда X гильбертово. Задача возникла после того, как в 2013 г. участники Школы П.А.Бородин и Б.Б.Беднов доказали, что предуальные к L_1 пространства и только они реализуют так называемые минимальные заполнения (длины кратчайших сетей в них обращают в равенства соответствующие изопериметрические неравенства), откуда следует, что длины кратчайших сетей в этих пространствах зависят только от попарных расстояний между точками. Соответствующая работа принята к печати в "Матем. сборнике" (2019, Т. 210, вып. 3).
(5) (Б.Б.Беднов, П.А.Бородин). Исследовался вопрос о существовании липшицевой выборки из отображения Штейнера st_n, ставящего в соответствие n точкам x_1,…,x_n банахова пространства X множество их точек Штейнера, то есть точек s\in X с минимальной суммой расстояний до x_1,…,x_n. Получены следующие общие результаты.
а) Пусть X - банахово пространство, dim X \ge 2, \varepsilon > 0 и n\ge 4 - четное
число. Если единичная сфера S(X) содержит две различные достижимые точки на расстоянии не больше \varepsilon , то всякая липшицева выборка из отображения st_n имеет константу Липшица не меньше 1/(8\varepsilon)-3/(2n) .
Из этого утверждения следует, что в строго выпуклом пространстве X с dim X \ge 2 не существует липшицевой выборки из отображения st_n при четном n\ge 4, а также то, что в конечномерном банаховом пространстве X при четном n\ge 4 существует липшицева выборка из отображения st_n тогда и только тогда, когда единичный шар B(X) является конечным многогранником (X полиэдрально).
б) Пусть X - рефлексивное локально равномерно выпуклое банахово пространство с локально равномерно выпуклым сопряженным X^* , dim X \ge 2 . Тогда для всякого нечетного n \ge 5 (однозначное) отображение st_n не является липшицевым. В частности, во всяком строго выпуклом гладком конечномерном пространстве однозначное отображение st_n для всякого нечетного n \ge 5 не липшицево. В то же время построены примеры двумерных строго выпуклых (тем самым не полиэдральных) пространств, в которых st_n липшицево при указанных n, то есть приведенный в (3a) критерий для нечетных n неверен.
в) Что касается самого загадочного отображения Штейнера st_3 для трех точек, то здесь
в случае двумерного строго выпуклого и гладкого пространства X доказана липшицевость этого отображения (для евклидовой плоскости это результат Кахана 1974 г.). Показана существенность как гладкости, так и двумерности в этом утверждении: построен пример двумерного строго выпуклого негладкого пространства, в котором st_3 не липшицево, а также пример трехмерного строго выпуклого гладкого пространства, в котором отображение st_3 не липшицево.
Эти результаты составили опубликованную работу
(6) (А.А.Алимов, А.А.Флеров). Доказано, что в произвольном банаховом пространстве локально чебышёвское множество существования является чебышёвским множеством, если оно P-связно, локально компактно и локально монотонно линейно связно. Понятие локально чебышевского множества было предложено М.В. Балашовым по аналогии с понятием локально выпуклого множества: множество M в банаховом пространстве X называется локально чебышевским, если для любого элемента y\in M найдется такое число r=r(y)> 0, что пересечение M с замкнутым шаром B(y,r) есть чебышевское множество. Недавно член школы А.А.Флеров доказал, что связное замкнутое локально чебышевское множество в произвольном двумерном банаховом пространстве является чебышевским. Возникла довольно непростая задача: верно ли, что во всяком конечномерном банаховом пространстве замкнутое связное локально чебышевское множество является чебышевским? Указанный выше результат является частичным ответом на этот вопрос. Он опубликован.
Кроме того, построен пример замкнутого связного локально чебышевского множества в пространстве C[0,1], не являющегося чебышевским; соответствующая работа сдана в печать.
(7) (А.Р.Алимов, Б.Б.Беднов). Исследовались геометрические свойства чебышевских множеств. Построен пример ограниченного чебышевского множества в трехмерном нормированном пространстве, которое не является монотонно линейно связным (Б.Б.Беднов). Напомним определение монотонной линейной связности, введенное членом школы А.Р.Алимовым. Кривая k(\cdot) в банаховом пространстве X называется монотонной, если для всякого экстремального функционала f из единичной сферы сопряженного пространства функция f(k(t)) монотонна. Множество M в X называется монотонно линейно связным, если всякие его две точки соединяются в M монотонной кривой. Монотонная линейная связность является ослабленным вариантом выпуклости (в гладком пространстве X равносильна выпуклости) и оказалась связанной со многими аппрокcимативными свойствами множеств. Публикация пока не готовилась, поскольку Б.Б.Беднов надеется в следующем году описать все трехмерные пространства, в которых есть такое множество. Результат анонсирован на конференции.
Кроме того, участником школы А.Р.Алимовым совместно с Е.В.Щепиным было показано, что в конечномерном нормированном пространстве чебышевское множество выпукло по любому касательному направлению единичной сферы. Направление d называется касательным направлением к единичной сфере S нормированного пространства, если из условия s\in S и того, что прямая с направлением d является опорной к сфере S в точке s, вытекает, что эта прямая является касательной к сфере S, т.е. является (частичным) пределом секущих в точке s. Множество M называется выпуклым по направлению d, если из того, что x,y\in M, y-x параллельно d, вытекает, что весь отрезок [x,y] включается в M. Результат опубликован.
(8) (А.А.Шкаликов, А.М.Савчук). Продолжены исследования по асимптотикам фундаментальных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений при изменении аргумента на конечном промежутке и при стремлении спектрального параметра к бесконечности в секторах комплексной плоскости. Это очень большая тема, при ее развитии в этом году были достигнуты значительные результаты. Работы по этой теме вели А.А.Шкаликов, А.М.Савчук, К.А.Мирзоев и В.Е.Владыкина. Публикации по этой теме выполнили А.М.Савчук в журнале «Известия РАН. Серия Математика» и В.Е.Владыкина в журнале «Вестник МГУ. Серия Математика и Механика». Кроме того, подготовлены еще 2 публикации для журнала «Математический сборник» и «Математические заметки». Более того, материал для статьи в «Математический сборник» уже подготовлен и записан в первой главе докторской диссертации А.М.Савчука, а сама диссертация принята к рассмотрению на заседании диссертационного совета 25 декабря 2018 года. Основная новизна результатов заключается в том, что асимптотики по спектральному параметру получены для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем в условиях, когда коэффициенты являются обобщенными функциями конечного порядка сингулярности. Соответствующие результаты получены в результате длительной подготовки, которая велась участниками Школы начиная с 2003 года. По мнению авторов, результаты будут иметь принципиальный характер, поэтому те результаты, которые еще не опубликованы, сейчас тщательно выверяются и переписываются уже не в первый раз с целью максимально лаконичного и ясного изложения.
(9) (А.М.Савчук). Продолжались исследования одномерной системы Дирака на конечном отрезке с регулярными по Биркгофу краевыми условиями и комплекснозначным суммируемым потенциалом. Изучались вопросы базисности системы собственных и присоединенных функций таких операторов. Продолжено изучение вопроса о равномерной базисности. А именно, пусть краевые условия усиленно регулярны и фиксированы. Будем варьировать потенциал в некотором подмножестве X пространства L_1. При этом конечное число собственных значений оператора Дирака могут образовывать клетки, но при ограничении на подпространство, порожденное остальными собственными векторами, оператор остается простым. Можно ли оценить константу Рисса базиса из собственных функций оператора на этом подпространстве? На этот вопрос был дан положительный ответ в случае, когда X предкомпактно в L_1. Изучался существенно более сложный случай, когда X=B_p(0,R) - шар радиуса R в пространстве L_p для любого p>1. Оказалось, что и здесь ответ положительный, однако доказательство потребовало преодоления существенных трудностей. В процессе доказательства были уточнены наши предыдущие результаты об асимптотическом поведении системы собственных функций – вместо оценок в пространстве L_2 были получены равномерные оценки остатков без ухудшения оценок по порядку убывания.
Изучались системы дифференциальных уравнений первого порядка размера n. Получены результаты об асимптотическом поведении фундаментальной системы решений. Эти результаты потребовали огромной технической работы. К публикации готовятся три работы – краткое сообщение и две работы с подробными доказательствами. Интересно то, что в процессе доказательства используется (причем по существу) знаменитая теорема Карлесона-Ханта. Были разобраны разные шкалы для коэффициентов систем и, соответственно, для оценки остаточных членов. А именно, случаи, когда коэффициенты системы суммируемы в степени p\in[1,2]; когда интегральный L_1-модуль непрерывности коэффициентов имеет оценку \delta^\theta, \theta\in(0,1], т.е. коэффициенты лежат в пространстве Бесова B^\theta_{1,\infty}. Разобран и более общий случай, когда одновременно повышается степень суммируемости и степень гладкости коэффициентов: пространство Бесова B^\theta_{p,p}. Здесь удалось получить результаты при \theta<1/p. Полученные асимптотические результаты имеют непосредственное отношение к обыкновенным дифференциальным операторам высокого порядка с сингулярными коэффициентами. Здесь удалось перенести определение регулярных по Биркгофу краевых условий на класс операторов с коэффициентами – распределениями.
(10) (И.В.Садовничая). Продолжено изучение операторов Дирака с потенциалами из различных шкал пространств. Потенциалы предполагались комплекснозначными. Изучалась вопросы базисности системы корневых функций таких операторов. В сильно регулярном случае для фиксированных краевых условий получены равномерные оценки констант Рисса базиса из корневых функций оператора, если потенциал принадлежит предкомпактному в L_1 множеству.
Изучался оператор Штурма—Лиувилля с потенциалом – распределением первого порядка и регулярными по Биркгофу краевыми условиями. Были получены результаты о равносходимости спектральных разложений возмущенного и невозмущенного операторов. Равносходимость рассматривалась в шкале пространств Лебега, в зависимости от класса принадлежности потенциала и раскладываемой функции.
(11) (В.В.Власов, Н.А.Раутиан). Продолжено исследование интегро-дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Указанные уравнения являются операторными моделями интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, возникающими в теории вязко-упругости, в теплофизике, а также теории усреднения. Установлены результаты о корректной разрешимости упомянутых уравнений в шкале пространств Соболева вектор-функций, а также проведен спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами этих уравнений. Установлена локализация и структура спектра указанных оператор-функций. Существенной особенностью рассмотрений этого года является то, что мы изучали интегро-дифференциальные уравнения с ядрами, зависящими от параметра, а также уравнения с ядрами, имеющими особенность в нуле (представимыми в виде рядов по дробно-экспоненциальным функциям - функциям Работнова). Следует отметить, что функции Работнова весьма популярны в теории вязкоупругости и широко используются механиками. В дальнейшем планируется рассмотреть интегро-дифференциальное уравнение с двумя некоммутирующими операторами и с ядрами, представимыми в виде рядов по функциям Работнова. Тематика исследований является весьма актуальной и перспективной. Одной из причин этого является тесная связь изучаемых задач с приложениями: теория вязкоупругости, процесс распространения тепла в средах с памятью, задачи теории усреднения. Выводы о локализации и структуре спектра исследуемых оператор-функций представляют несомненный интерес для механиков и физиков. С другой стороны, эти результаты представляют немалый интерес для специалистов в области спектральной теории.
(12) (А. В. Давыдов, Ю. А. Тихонов). Исследовались спектральные свойства операторного пучка, описывающего динамику одномерной вязкоупругости среды с учётом внутреннего трения Кельвина-Фойгхта. Получен ряд результатов о локализации спектра указанного операторного пучка с ненулевым параметром \alpha и ядром свёртки, представимым в виде ряда из экспонент; построен пример ядер свёртки K(t), для которых спектр пучка состоит из бесконечного числа невещественных точек, кроме того, показано, что малое возмущение ядра свёртки может качественным образом повлиять на невещественную часть спектра пучка.
(13) (К.А. Мирзоев). Получены асимптотические формулы фундаментальной системы решений некоторых классов линейных дифференциальных уравнений на бесконечности. Получены также теоремы об индексах дефекта минимального симметрического оператора, порожденного соответствующим дифференциальным выражением, и теоремы о спектрах их самосопряженных расширений.
Для матричных дифференциальных выражений второго порядка с необязательно гладкими коэффициентами, при некоторых ограничениях на коэффициенты получены асимптотические формулы на бесконечности фундаментальной системы решений уравнения L_k[y]=\lambda y при фиксированном \lambda. Полученные результаты применяются для нахождения дефектных чисел соответствующих операторов и к исследованию характера спектра их самосопряженных расширений. Исследован минимальный симметрический оператор, порожденный бесконечной симметрической якобиевой матрицей с элементами – линейными операторами, действующими в конечномерном пространстве, или линейными ограниченными операторами, действующими в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве. Получены новые признаки определенности, вполне неопределенности и не вполне неопределенности соответствующей проблемы моментов в терминах элементов-операторов этой матрицы.
Предложен новый подход, позволяющий средствами спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов вычислять суммы некоторых сходящихся числовых рядов и получать интегральное представление сумм некоторых степенных рядов.
(14) (И.А. Шейпак, Ю.В.Тихонов). Исследованы показатели Гёльдера непрерывных самоподобных функций положительного спектрального порядка. На основе вейвлет-представлений непрерывных аффинно-самоподобных функций получены различные эквивалентные способы определения показателей Гёльдера. Получены точные формулы для показателей Гёльдера при всех возможных параметрах самоподобия, обеспечивающих непрерывность самоподобной функции. Ранее подобные формулы были известны для существенно более узкого класса функций: на каждом подотрезке самоподобия вертикальный коэффициент сжатия должен быть строго больше горизонтального коэффициента сжатия. Полученные формулы могут быть применены для получения асимптотических формул распределения собственных значений для операторов, порождаемых краевыми задачами с весом-мерой (без атомов), носитель которой вычисляется через показатель Гёльдера функции-распределения меры. Асимптотика считающей функции собственных значений для уравнения струны с таким весом имеет степенной характер. Степень явно вычисляется через показатель Гёльдера. По результатам исследований написана статья, принятая к публикации в журнале «Функциональный анализ и его приложения».
(15) (А. А. Беляев). Продолжалось изучение мультипликаторов, действующих в шкале обобщённых пространств соболевского типа. Для мультипликаторов, действующих в шкале пространств бесселевых потенциалов H^{\gamma}_r(\mathbb{R}^n), в ситуации, когда не выполняются условия, обобщающие классические условия стрихартцевского типа, связывающие индексы гладкости пространств, показатели лебеговости и размерность пространства \mathbb{R}^n, были получены двусторонние непрерывные вложения типа H^{\gamma}_{r_1, unif}(\mathbb{R}^n) \subset M[H^{s_1}_{p_1} \to H^{s_2}_{p_2}(\mathbb{R}^n)] \subset H^{\gamma}_{r_2, unif}(\mathbb{R}^n) при выполнении условия s_1 \cdot s_2 > 0. Таким образом, в той ситуации, когда соответствующее пространство мультипликаторов не может быть описано в терминах своего совпадения с некоторым пространством равномерно локализованных бесселевых потенциалов или конечным пересечением пространств такого типа, был исследован вопрос существования двусторонних непрерывных вложений пространства мультипликаторов в пространства равномерно локализованных бесселевых потенциалов H^{\gamma}_{r, unif}(\mathbb{R}^n) и оптимальности индексов \gamma и r, фигурирующих в соответствующих вложениях.
В случае, когда индексы гладкости s_1 и s_2 имеют различный знак, была окончательно разрешена проблема поиска необходимых и достаточных условий на индексы s_1, s_2, p_1 и p_2 для пространств бесселевых потенциалов H^{s_1}_{p_1}(\mathbb{R}^n) и H^{s_2}_{p_2}(\mathbb{R}^n), при которых возможно описание соответствующего пространства мультипликаторов в терминах шкалы пространств равномерно локализованных бесселевых потенциалов, а именно было доказано, что при естественных ограничениях имеет место совпадение пространств M[H^{s_1}_{p_1} \to H^{-s_2}_{p_2}(\mathbb{R}^n)] и H^{-s_2}_{p_2, unif}(\mathbb{R}^n) \cap H^{-s_1}_{p_1^’, \unif}(\mathbb{R}^n). Полученные результаты обобщают восходящие к работам Й. Франке, В. Зикеля, Х. Трибеля, П. Лемари-Рьёссе, П. Жермена, А.А. Шкаликова и М.И. Нейман-Заде результаты, дающие подобное описание в существенно более простых частных случаях. Отметим, что строго была обоснована не только достаточность, но и необходимость всех накладываемых при получении такого описания ограничений.
Также изучалась возможность обобщений результатов такого типа на случай пространств Лизоркина-Трибеля. В частности, был исследован вопрос нахождения конструктивно формулируемых условий, гарантирующих возможность введения на пространстве мультипликаторов из одного пространства Лизоркина-Трибеля F^{s_1}_{p_1, q_1}(\mathbb{R}^n) в другое такое пространство F^{s_2}_{p_2, q_2}(\mathbb{R}^n) равномерно локализованной мультипликаторной нормы, для чего ключевым является справедливость для пространств типа Лизоркина-Трибеля принципа равномерной локализации, что обобщает полученные ранее Г.Бурдо результаты по связи принципа равномерной локализации и описания пространств мультипликаторов для пространств типа Бесова-Лизоркина-Трибеля.
(16) (В. Е. Владыкина). Предложена классификация краевых условий для дифференциальных операторов с инволюцией вида JP+Q, где P и Q – произвольные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами при старшей производной, а J – оператор инволюции. Получены теоремы о базисных свойствах систем корневых функций регулярных краевых задач.
(17) (В.В.Рыжиков). В эргодической теории давно известна задача Тувено об изоморфизме динамических систем при условии изоморфизма их тензорных степеней. В этом направлении ранее был получен ряд результатов Рыжиковым, Троицкой и Кулагой. В рамках гранта Рыжиковым решена задача Тувено в общей постановке, а в специальной постановке она решена для сохраняющих меру потоков {T_s} с непрерывным спектром, обладающих слабым интегральным пределом вида \int T_s \nu(ds), где \nu -- непрерывная мера на прямой. Это усиливает аналогичный результат Кулаги, в котором от меры \nu дополнительно требовалось, чтобы ее преобразование Фурье было аналитическим. Теперь это ограничение снято.
(18) (М.С.Лобанов и В.В.Рыжиков). Доказано существование таких слабо перемешивающих потоков T_t, что произведения T_t\otimes T_{\alpha t} имеют простой спектр при всех \alpha > 1. Указанный поток был построен с использованием конструкции потока ранга один с разными типами надстроек на разных подпоследовательностях этапов. В частности, для получения указанных специальных слабых пределов были использованы надстройки, выбранные с использованием отображения в конечных полях, задаваемых функцией следа.
(19) (А.Ю. Попов). Проблематика, связанная с получением оценок минимума модуля, имеет богатую историю. Содержащиеся в ней результаты состояли в асимптотических оценках снизу минимума модуля целой функции на окружностях, когда их радиусы стремятся к плюс бесконечности по некоторому множеству (своему для каждой функции). Значительный вклад в это направление внести Литтльвуд, Риман, Пойя, Хельман, Гельфонд. Имеется также исследование Евграфова, содержащееся в его книге «Асимптотические оценки и целые функции» (глава III, параграф 5), в котором есть как интересные новые идеи, так и ошибочные рассуждения, давшие в итоге неверный результат (следствие 3.3 из теоремы 3.5.6). Принципиальное отличие результатов А.Ю.Попова от имеющихся в этой тематике состоит в получении неасимптотических оценок максимального значения минимума модуля целой функции на окружности, радиус которой пробегает отрезок с постоянным отношением концов, через отрицательную степень интегральной нормы по окружности большего радиуса. Оценки верны для произвольной аналитической функции из пространства Харди H^1 и даются через норму функции в этом пространстве. Доказана следующая теорема:
Даны три числа q\in (0,1), d>0, R>0 и произвольная функция f(z)=\sum_{k=\nu}^{\infty}b_kz^k\in H^1(|z|<{\mathcal{R}}), b_{\nu}\ne0, \nu\in\mathbb{N}_0, где \mathcal{R}\geqslant A_+(q,d)R, где A_+(q,d)=\frac{1-q}{4}\left(\left(s+\sqrt{s^2-1}\right)^{\frac{d+1}{d}}
+\left(s-\sqrt{s^2-1}\right)^{\frac{d+1}{d}}\right)+\frac{1+q}{2}, s=s(q)=\frac{1+q}{1-q}. Тогда найдется такое число r\in(qR,R), что справедлива следующая оценка снизу для m(f,r)=\min_{|z|=r}\left|f(z)\right|.
m(f,r)>c\|f\|_{H^1(|z|<\mathcal{R})}^{-d}, c=4^{-d-1}q^{\gamma+1}|b_\nu|^{1+d}A_{+}^{\nu d}(q,d)R^{\nu(1+d)}.
В качестве следствия получены новые оценки снизу минимума модуля целой функции на некоторой последовательности радиусов окружностей, стремящейся к бесконечности.
(20) (М.И. Дьяченко). Изучались различные свойства тригонометрических рядов с обобщенно-монотонными и слабо-монотонными коэффициентами.
Хорошо известно, что многие результаты теории тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами справедливы также и при некотором ослаблении свойства монотонности.
Последовательность {\{a_n \}}_{n=1}^{\infty} называется обобщенно-монотонной (\{ a_n\}\in GM), если для некоторых C \geq 1 и \gamma >1 при всех натуральных n имеем
\sum\limits_{k=n}^{2n} |a_k - a_{k+1}| \leq C
\sum\limits_{k=[\frac{n}{\gamma}]}^{[\gamma n]} \frac{|a_k|}{k}.
На классе тригонометрических рядов, последовательность коэффициентов которых образует обобщенно-монотонную последовательность, Дьяченко М.И. совместно с Тихоновым С.Ю. получен результат, обобщающий известную теорему Г. Лоренца об оценке скорости стремления к нулю коэффициентов Фурье для рядов Фурье непрерывной функции с монотонными коэффициентами через ее модуль непрерывности. Установлена следующая теорема:
Пусть \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx+b_n \sin nx)
является рядом Фурье непрерывной функции f. Тогда n (|a_n|+|b_n|) \leq {C} {\omega(f,1/n)},
если априорно известно, что коэффициенты {\{a_n\}}_{n=1}^{\infty}, {\{b_n\}}_{n=1}^{\infty}\in GM. При этом оценка не может быть усилена.
Для функций с обобщенно-монотонными коэффициентами Фурье Дьяченко М.И. совместно с Нурсултановым Е.Д. и Тихоновым С.Ю. и установлен и ряд других результатов, в том числе, аналог критерия Харди-Литтльвуда о принадлежности функции с монотонными коэффициентами Фурье пространству L_p, 1<p<\infty .
Также ими установлены новые результаты, связанные с теоремой Пэли.
Пусть 1<p<2 и последовательность a= {\{ a_n \}}_{n=1}^{\infty} удовлетворяет условию J_p (a) \equiv {( \sum\limits_{n=1}^{\infty} {| a_n |}^p n^{p-2} )}^{\frac{1}{p}} < \infty.
Хорошо известно, что при данных p это условие, вообще говоря, не означает, что a является последовательностью тригонометрических коэффициентов Фурье некоторой функции из пространства L_p. Однако, как было установлено Дьяченко М.И. совместно с Нурсултановым Е.Д. и Тихоновым С.Ю., преобразования Харди a^H_n \equiv \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n a_k , n=1,2,...
и Беллмана a^B_n \equiv \sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac{a_k}{k}, n=1,2,...
последовательности a уже являются последовательностями тригонометрических коэффициентов Фурье некоторых функций из L_p. Аналогичные вопросы рассмотрены и для преобразований Фурье.
(21) (А.Ю.Попов, А.П.Солодов). На классе тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами большую роль играют точные и асимптотические оценки поведения суммы ряда в окрестности нуля. Салем получил двустороннюю оценку суммы ряда по синусам \sum_{k=1}^{\infty}b_k\sin kx через кусочно-линейную функцию v(\mathbf b, x)=x\sum_{k=1}^{m(x)}k b_k, m(x)=[\pi/x], названную впоследствие мажорантой Салема, на важном подклассе синус-рядов с монотонными коэффициентами - классе рядов по синусам с выпуклыми коэффициентами. В условиях теоремы Салема содержалось также требование монотонности последовательности \{k b_k\}. В последующих исследованиях Теляковского С.А. и Попова А.Ю. показана избыточность этого требования, а также получены точные постоянные в двусторонней оценке суммы ряда по синусам.
Оказалось, что условие монотонности последовательности \{k b_k\} даже при отсутствии требования выпуклости последовательности \{\mathbf b\} влечет еще более точные оценки через мажоранту Салема.
Поповым А.Ю. и Солодовым А.П. получены соответствующие оценки. Доказана асимптотическая неулучшаемость найденных оценок на рассматриваемых классах последовательностей коэффициентов.
Установлены следующие теоремы:
Если последовательность \boldsymbol b не возрастает и стремится к нулю, а последовательность \{k b_k\} не возрастает, то при любом x\in (0, \pi/3] верна оценка снизу
g(\boldsymbol b, x)\geqslant \left(\underline{I}-\frac{1}{m(x)}\right)v(\boldsymbol b, x)-\frac{3}{2}b_{m(x)+1}\sin\left(\frac{x}{2}\right), где
\underline{I}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{\sin t}{t}\,dt=0.451\dots
В то же время существуют такая невозрастающая и стремящаяся к нулю последовательность \underline{\boldsymbol b} со свойством \{k b_k\} не возрастает и последовательность точек \{x_n\}_{n\in\mathbb N}, что
x_n>0 (\forall n \in \mathbb N), \lim\limits_{n\to\infty}x_n=0,
g(\underline{\boldsymbol b}, x_n)\sim \underline{I}\, v(\underline{\boldsymbol b}, x_n), n\to\infty.
Если последовательность \boldsymbol b не возрастает и стремится к нулю, а последовательность \{k b_k\} не убывает, то при любом x\in (0, \pi) верна оценка сверху
g(\boldsymbol b, x)\leqslant \overline{I}\left(1+\frac 1{m(x)}\right)v(\boldsymbol b, x)+\frac{1}{2}b_{m(x)+1}\tg\left(\frac{x}{4}\right), где
\overline{I}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin t}{t}\,dt=0.589\dots
В то же время существуют такая невозрастающая и стремящаяся к нулю последовательность \underline{\boldsymbol b} со свойством \{k b_k\} не убывает и последовательность точек \{x_n\}_{n\in\mathbb N}, что
x_n>0 (\forall n \in \mathbb N), \lim\limits_{n\to\infty}x_n=0,
g(\overline{\boldsymbol b}, x_n)\sim \overline{I}\, v(\overline{\boldsymbol b}, x_n), n\to\infty.
(22) (В.В.Галатенко, Т.П.Лукашенко, В.А.Садовничий). Существенное внимание было уделено теоретическому изучению орторекурсивных разложений по фиксированным системам и
жадным разложениям с фиксированными коэффициентами. В жадных разложениях с фиксированными коэффициентами, в противоположность классическим разложениям в ряды Фурье, коэффициенты разложения фиксируются заранее, а в процессе разложения определяются (выбираются из заданного множества – словаря) элементы разложения. Жадные разложения с фиксированными коэффициентами по конкретному словарю были рассмотрены В.В.Галатенко, а позднее изучены В.Н.Темляковым в случае словарей общего вида и банаховых пространств. В частности, В.Н.Темляков в случае банаховых пространств получил достаточные условия на последовательность коэффициентов, гарантирующих сходимость разложения к разлагаемому элементу. В.В.Галатенко, Т.П. Лукашенко и В.А.Садовничий показали, что в более узком случае гильбертовых пространств условия могут быть ослаблены: для сходимости достаточно требовать расходимость ряда из коэффициентов и сходимость ряда из их квадратов. Ослабление заключается, таким образом, в отказе от монотонности. Кроме того, удалось показать невозможность ослабления второго условия по крайней мере в степенной шкале. Для этого была предложена геометрически наглядная конструкция, новая для теории жадных алгоритмов. Интерес к конструкции дополнительно усиливается тем обстоятельством, что до сих пор арсенал техник получения отрицательных результатов в теории жадных алгоритмов является весьма ограниченным. В конечномерном случае положительный результат о сходимости жадных разложений с фиксированными коэффициентами был дополнительно усилен: установлено, что требование расходимости ряда из квадратов коэффициентов может быть заменено требованием их монотонного стремления к нулю.
При изучении сходимости орторекурсивных разложений основное внимание было уделено специальному классу систем, включающему, в частности, системы сжатий и сдвигов фиксированной функции. При этом рассматривались вопросы поточечной сходимости, существенно менее изученные для орторекурсивных разложений по сравнению с вопросами сходимости по норме, порожденной скалярным произведением. В частном случае систем двоичных сжатий и сдвигов основной результат, полученный в этом направлении в 2018 году, может быть сформулирован следующим образом.
Пусть порождающая систему функция является неотрицательной, непрерывной и гельдеровой (вместо гельдеровости достаточно потребовать расходимость ряда \sum w^2 (2^{-k}), где w –модуль непрерывности порождающей систему функции). Тогда орторекурсивное разложение сходится к разлагаемой функции почти во всех точках ее непрерывности.
Интерес здесь представляет не только сам результат, но и метод, использованный для его получения.
Кроме того, в 2018 году В.В.Галатенко, Т.П.Лукашенко и В.А.Садовничий исследовали ряд прикладных вопросов. В частности, была рассмотрена трактовка разложения по конечномерному фрейму как избыточное кодирование, позволяющее обнаруживать и исправлять ошибки (обнаружение и исправление здесь понимаются так же, как и в классической «дискретной» теории кодирования). Показано, что в общем случае разложение по фрейму из (M+N) элементов в N-мерном пространстве позволяет обнаруживать до M ошибок и исправлять до [M/2] ошибок. Заметка с описанием этой трактовки подана в журнал и находится на рецензировании. Также Галатенко В.В. принимал участие в различных биомедицинских исследованиях (в частности, проводимых с участием групп из Германии и Швеции), в которых важную роль играл математический анализ массивов экспериментальных данных.
(23) (Т.В.Родионов). Получены критерии слабой компактности множеств положительных ограниченных радоновских мер на тихоновском и на общем хаусдорфовом топологических пространствах, обобщающие известный критерий Ю.В. Прохорова для полного сепарабельного метрического пространства.
Известный критерий Ю.В. Прохорова утверждает, что для слабой компактности замкнутого множества ограниченных радоновских мер на полном сепарабельном метрическом пространстве относительно слабой топологии, порождённой на пространстве RM_b ограниченных радоновских мер семейством C_b ограниченных непрерывных функций, необходимо и достаточно выполнение двух условий:
(\alpha^{\pi}) для любого \varepsilon>0 существует такое компактное множество C, что |\mu|(T\setminus C)<\varepsilon для всех \mu\in M;
(\beta) \sup(|\mu| T\mid \mu\in M)\in[0,\infty).
Эти условия достаточны для слабой компактности на тихоновском (вполне регулярном) топологическом пространстве (Н. Бурбаки). Однако, эти условия не будут необходимыми даже в случае положительных мер.
В случае общего хаусдорфова топологического пространства не имеет смысла рассматривать C_b-слабую компактность, ввиду возможной тривиальности семейства C_b: оно может состоять из одних только постоянных функций. Поэтому была рассмотрена слабая компактность относительно линейного пространства S симметризуемых функций, являющегося равномерным замыканием введённого Ф.Хаусдорфом линейного пространства, состоящего из сумм ограниченных функций, полунепрерывных сверху и полунепрерывных снизу. S-слабая топология на~RM _b сильнее C_b-слабой топологии, но строго слабее тривиальной топологии сходимости на борелевских множествах.
Заменив условие (\alpha^{\pi}) более строгим условием
(\alpha^{\zeta}): для любого открытого G и любого \varepsilon>0 существует такой компакт C\subset G, что |\mu|(G\setminus C)<\varepsilon для всех \mu\in M, Т.В.Родионов и В.К.Захаров получили следующий критерий.
Замыкание множества M положительных ограниченных радоновских мер в S-слабой топологии является S-слабо компактным тогда и только тогда, когда M обладает свойствами (\alpha^{\zeta}) и (\beta).
(24) (Д.В.Фуфаев). Исследование функций на бесконечномерном торе было начато достаточно давно, но в последние годы интерес к этой тематике стремительно возрос. Ранее Н.Н. Холщевниковой были получены достаточные условия сходимости почти всюду рядов Фурье по кубам. Для рядов Фурье на бесконечномерном торе Д.В.Фуфаевым получены неусиляемые достаточные условия суммирования почти всюду некоторыми методами суммирования (в том числе методом Чезаро) для различных случаев регулярности возрастания мультииндекса, в том числе по кубам и по Прингсхейму. Результат также перенесен на случай тензорных произведений счетного числа направленностей операторов на абстрактных пространствах с мерой.
|
