Аннотация:Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения математической физики
в частных производных (эллиптические, гиперболические и параболические)
с переменными коэффициентами, зависящими от координат и времени. Такие уравнения
вместе с входными данными будем называть исходными. Уравнения с переменными
коэффициентами описывают процессы в композиционных материалах, у которых
механические характеристики меняются либо скачком, либо непрерывно в пограничной
области между фазами. Многие задачи из различных разделов линейной и нелинейной
механики сводятся к решению линейных уравнений с переменными коэффициентами.
Показано, что решение исходной задачи для уравнения с переменными коэффициентами
выражается через решение такой же задачи для уравнения с постоянными
коэффициентами (сопутствующая задача) с помощью интегральной формулы. В ядро
интегральной формулы входит функция Грина и разность коэффициентов исходного
и сопутствующего уравнений. С помощью разложения сопутствующего решения
в многомерный ряд Тейлора из интегральной формулы получено эквивалентное
представление решения исходной задачи в виде ряда по всевозможным производным
от решения сопутствующей задачи. Коэффициенты при производных называются
структурными функциями. Они являются непрерывными функциями координат и времени,
обращающимися в нуль при совпадении исходных и сопутствующих коэффициентов. Для
определения структурных функций построена система рекуррентных уравнений. Через
структурные функции определяются коэффициенты сопутствующих уравнений. Найдены
явные аналитические выражения для структурных функций в случае неоднородного
по толщине бесконечного в плане слоя и в случае, когда коэффициенты уравнений зависят
только от времени.