Аннотация:Рассматривается уравнение поперечных колебаний балки, у которой модуль Юнга
и поперечное сечение зависят от продольной координаты. Дана постановка задачи
о собственных частотах поперечных колебаний такой балки. Методом разделения
переменных Фурье задача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению
с переменными коэффициентами для собственных функций (исходное уравнение). Далее
построено интегральное представление решения исходного уравнения через решение
такого же уравнения только с постоянными коэффициентами (сопутствующее уравнение).
В интегральную формулу входит функция Грина исходного уравнения, решение которого
ищется в виде ряда по четным степеням собственных частот. Коэффициенты
сопутствующего уравнения находятся из решения вспомогательных задач и называются
эффективными коэффициентами. Решение сопутствующего уравнения определяется
аналитически в общем виде с точностью до четырех констант. В итоге из интегрального
представления получается общее решение исходного уравнения, в которое входит четыре
произвольных константы. Они находятся из однородных условий на концах стержня.
В результате удовлетворения этим условиям получается частотное уравнение.
Рассматриваются частные случаи опор концов балки.