Аннотация:Сумма подмножеств A1,…,Ak абелевой группы G определяется как совокупность всех сумм k элементов из множеств A1,…,Ak, т. е. A1+⋯+Ak=a1+⋯+ak|a1∈A1,…,ak∈Ak. Подмножество, представимое в виде суммы k подмножеств абелевой группы G, назовём k-суммой. Рассматривается задача о числе k-сумм в абелевой группе G. Очевидно, что любое подмножество A абелевой группы G является k-суммой, так как подмножество A можно представить в виде суммы A=A1+⋯+Ak, где A1=A и A2=⋯=Ak=0. Тем самым число k-сумм равно количеству всех подмножеств абелевой группы G. Однако если ввести ограничение на мощность слагаемых A1,…,Ak, то число k-сумм становится существенно меньше. Получены нижняя и верхняя асимптотические оценки на число k-сумм в абелевых группах при условии, что существует слагаемое Ai такое, что |Ai|≥n logqn и |A1+⋯+Ai−1+Ai+1+⋯+Ak|≥n logqn, где q=−1/8 и i∈1,…,k.