Аннотация:Доказывается, что всякую точку выпуклой оболочки компакта M в гладком банаховом пространстве X можно приблизить выпуклой комбинацией точек метрической проекции P_M(x), где x∈X. Как следствие получено, что число Каратеодори компакта M⊂X с не более чем k-значной метрической проекцией PM не превосходит k, т.е. всякая точка выпуклой оболочки M лежит в выпуклой оболочке не более чем k точек из M.