Аннотация:Рассматриваются изометрии поверхности, порождающие на ней по определенной схеме конформные отображения на себя. Дается полное описание поверхностей, допускающих изометрии, которым соответствуют тождественные конформные отображения. Для общего случая приводится ряд результатов, а также формулируются нерешенные вопросы.