Аннотация:Найдены двухпараметрические семейства брахистохрон в поле сил
тяжести при действии сухого трения, либо при одновременном действии
вязкого трения и разгоняющей силы. Задача сведена к стандартной задаче
оптимального управления по быстродействию. Получена формула
оптимального управления и система уравнений движения с дополнительной
переменной, не содержащая особенности при нулевой скорости. Показано, что
касательная к оптимальной траектории вертикальна в начальной точке.
Доказаны свойства оптимальных кривых, в том числе свойство выпуклости и
свойство автомодельности, позволяющее получать все оптимальные траектории
путем масштабирования некоторого их подмножества.