|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ЦЭМИ РАН |
||
Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких телкнига
- Автор: Никабадзе М.У.
- Год издания: 2023
- Место издания: Издательство Московского университета Москва
- Объём: 665 страниц
- ISBN: 978-5-19-011849-0
- Монография
- Исправленное и дополненное переиздание
- Аннотация: Применяя развитый автором метод ортогональных полиномов И.Н.Векуа, построены различные варианты микрополярных теорий однослойных упругих тонких тел с одним малым размером и двумя малыми размерами, многослойных упругих тонких тел, а также теорий плоских однослойных и многослойных областей. В частности, рассмотрены изложенные ниже вопросы.Предложены различные семейства параметризаций для областей, как однослойного, так и многослойного тонкого тела, а также однослойных и многослойных тонких областей. Среди них особое место занимает новая параметризация, используя в отличие от классических подходов нескольких базовых поверхностей для областей трехмерных тонких тел и нескольких базовых кривых в случае плоских областей. Ввиду чего она экспериментально более доступна. Создан новый тензорный аппарат для описания этих параметризаций. Введен аппарат дифференциальных операторов для теорий тонких тел. Сформулированы фундаментальные теоремы для областей тонких тел при различных параметризациях. Рассмотрены некоторые вопросы, касающиеся тензора Римана-Кристоффеля при новой параметризации, а также приведены тождества Ламе. Получены некоторые дополнительные рекуррентные соотношения полиномов Лежандра и Чебышева первого и второго родов, играющих важную роль при построении различных вариантов теорий тонких тел, при различных параметризациях областей этих тел. Построена теория моментов относительно этих систем полиномов. В частности, даны определения момента k-го порядка некоторой величины относительно произвольной системы ортогональных полиномов и систем полиномов Лежандра и Чебышева. Выписаны выражения для моментов частных производных функции, некоторых дифференциальных операторов от тензора и некоторых выражений относительно этих полиномов.Из 23 аксиом механики сплошных сред, сформулированных К.Трусделлом, приведены первые 9 аксиом, достаточных для оригинального изложения заимствованного из механики сплошных сред материала. Основываясь на этих аксиомах, большинство из которых допускает формулировки в интегральной и дифференциальной формах, выведены уравнения неразрывности в переменных Лагранжа и Эйлера и сформулирована аксиома сохранения тензора микроинерции (момента инерции микрочастицы). Получены уравнения движения относительно тензоров напряжений и моментных напряжений, а также уравнения относительно векторов перемещений и вращений и уравнение притока тепла. Приведено доказательство теоремы живых сил в микрополярной теории. Сформулированы граничные и начальные условия теплового содержания, а также кинематические и статические граничные и начальные условия. Рассмотрены некоторые вопросы о расщеплении начально-краевых задач классической и микрополярной теорий упругости для некоторых анизотропных сред. В частности, начально-краевые задачи микрополярной (классической) теории упругости представлены с помощью введенных тензорно-блочных матричных операторов (тензоров-операторов) и даны постановки начально-краевых задач в динамической классической и микрополярной теорий упругости неоднородных произвольно анизотропных и изотропных тел, а также представления решения динамических задач в классической и микрополярной теорий упругости. Найдены выражения для тензора-оператора уравнений и его определителя и тензора-оператора кофакторов, а также тензора-оператора напряжения и его тензора-оператора кофакторов при каноническом представлении трансверсально-изотропного тензора модулей упругости. Найдены выражения для тензоров-операторов кофакторов к тензору-оператору уравнений движения в перемещениях изотропного однородного материала и оператору напряжения, позволяющие расщеплять уравнения и граничные условия. Построен матричный дифференциальный тензор-оператор кофакторов к матричному дифференциальному тензору-оператору уравнений движения в перемещениях и вращениях, как для изотропных однородных материалов с центром симметрии, так и для материалов без центра симметрии. В этих случаях получены уравнения по отдельности векторов перемещений и вращений. Расщепленные уравнения получены и для редуцированной среды. При этом в последнем случае уравнение относительно вектора перемещений совпадает с уравнением классической теории, а уравнение относительно вектора вращений имеет аналогичный ему вид. Кроме того, при отсутствии объемных нагрузок уравнения редуцированной среды не зависят от свойств материала. Поэтому можно полагать, что эти уравнения могут быть использованы для идентификации материальных констант этой среды. Построен также матричный дифференциальный тензор-оператор кофакторов к матричному дифференциальному тензору-оператору напряжения и моментного напряжения в случае редуцированной среды. Кроме того, выявлены случаи, при которых легко обратить оператор напряжения и моментного напряжения.Традиционным путем получены аналог формуле Чезаро и различные формы условий совместимости деформации для линейной микрополярной теории с помощью тензора несовместимости. Выведены формулы, выражающие антисимметричную часть тензора деформаций (напряжений) через симметричные части тензоров деформаций и изгиба-кручения (напряжений и моментных напряжений) и антисимметричную часть тензора изгиба-кручения (моментных напряжений) через симметричную часть тензора изгиба-кручения (моментных напряжений), а также интегро-дифференциальные уравнения движения в микрополярной теории упругости относительно симметричных частей тензоров напряжений и моментных напряжений.Выведены уравнения относительно тензоров напряжений и моментных напряжений (аналоги уравнениям Бельтрами–Мичелла). При этом эти уравнения получены, как с несимметричными дифференциальными тензорами-операторами, так и с симметричными. Даны традиционные и новые постановки краевых задач относительно тензоров напряжений и моментных напряжений, а также относительно тензора деформаций в случае классической теории. Получены уравнения относительно тензора деформаций при нестационарных процессах для несжимаемой и сжимаемой изотропных упругих сред. Также приведен вывод уравнения движения относительно вектора перемещений для несжимаемой изотропной упругой среды. Сформулированы задачи и обобщенные задачи на собственные значения для тензора любого четного ранга и тензорно-блочной матрицы любого четного ранга и любого порядка. Подробно исследована внутренняя структура симметричной тензорно-блочной матрицы (ТБМ), состоящей из четырех тензоров четвертого ранга. Получены формулы, выражающие классические инварианты ТБМ через первые инварианты их степеней. Получены обратные к этим формулам соотношения. В явном виде построена полная ортонормированная система собственных тензорных столбцов симметрической ТБМ. Дано каноническое представление ТБМ. Даны некоторые приложения к механике. В частности, даны классификации микрополярных линейно упругих анизотропных материалов с центром симметрии и без центра симметрии, а также классических линейно упругих анизотропных материалов. Найдены собственные значения, а также явные выражения полных систем собственных тензоров для некоторых материалов кристаллографических сингоний и некоторых микрополярных материалов. Теоретически доказано существование материалов с отрицательным коэффициентом Пуассона. Сформулированы задачи на собственные значения также для дифференциальноготензора-оператора уравнений движения относительно вектора перемещений классической теории и для дифференциального тензорно-блочного матричного оператора уравнений движения относительно векторов перемещений и вращений в микрополярной теории. Характеристическое уравнение для дифференциального тензора-оператора уравнений движения классической теории имеет один простой корень (собственный оператор), равный волновому оператору продольных волн и один двукратный корень (двукратный собственный оператор), равный волновому оператору поперечных волн. Собственные векторы, соответствующие этим собственным операторам являются градиентом некоторой скалярной функции и ротор некоторой векторной функции. Детерминанты тензора-оператора уравнений движения в перемещениях и тензорно-блочного матричного оператора уравнений движения в перемещениях и вращениях в зависимости от кратностей корней их характеристических уравнений представляются в виде произведения степеней соответствующих волновых операторов.Даны представления некоторых дифференциальных операторов, уравнений движения относительно тензоров напряжений и моментных напряжений, уравнения притока тепла и определяющих соотношений физического и теплового содержаний и граничных условий физического содержания трехмерной микрополярной теории при рассматриваемых параметризациях. Из них выведены их представления в моментах относительно систем ортогональных полиномов Лежандра и Чебышёва для микрополярных теорий тонких тел. Выведены представления уравнений в перемещениях (Ламе) и уравнений в перемещениях и вращениях микрополярной теории, как при изотермических, так и неизотермических процессах при различной параметризации области тонкого тела. Эти уравнения получены и в моментах. Выведены граничные относительно векторов перемещений и вращений, а также начальные условия в моментах. Даны трехмерные постановки начально-краевых задач при различной параметризации области тонкого тела, а также соответствующие постановки начально-краевых задач в моментах. Получены определяющие соотношения классической и микрополярной теорий и закон теплопроводности Фурье приближения порядка r в моментах, как для однородного, так и для неоднородного относительно поперечной координаты материала. Выведены выражения для граничных условий физического и теплового содержаний (первого, второго и третьего родов) на лицевых поверхностях и выведены системы уравнений для нахождения векторов-функций кинематического и теплового содержаний применяемых при представлении определяющих соотношений в нормированных моментах при любой анизотропии материала. Даны определения систем уравнений в моментах приближения (r,N), а также законов Гука и теплопроводности Фурье в нормированных моментах приближения (r,N) и в моментах приближения (r,N). Получены граничные условия физического и теплового (второго и третьего родов) содержаний на граничном контуре в моментах приближения (r,N). Кроме того, выписаны кинематические и тепловые (первого рода) граничные условия на контуре и начальные условия в моментах приближения N.Даны постановки связанной и несвязанной динамических задач, а также нестационарной температурной задачи в моментах приближения (r,N) микрополярной теории тонких тел с одним малым размером. Следует заметить, что с помощью рассматриваемого метода построения теории тонких тел получается бесконечная система уравнений, которая имеет то преимущество, что она содержит величины, зависящие от двух переменных – гауссовых координат базовой поверхности. Итак, уменьшение числа независимых переменных на единицу достигается ценой увеличения количества уравнений до бесконечности, что, разумеется, имеет свои очевидные практические неудобства. В этой связи для упрощения проблемы производится редукция бесконечной системы к конечной системе. При этом рассмотрены несколько различных способов такой редукции. После редукции к конечной системе рассматриваемую задачу можно решить приближенно с соответствующими граничными условиями на граничном контуре базовой поверхности. При этом степень приближения шаг за шагом можно увеличить. Здесь возникает известная проблема выполнения граничных условий на лицевых поверхностях. В построенных автором теориях тонких тел в теоретически почти всех возможных случаях удается и эту проблему решить. При упрощенной схеме приведения бесконечной системы уравнений к конечной для любого приближенного решения построено корректирующее слагаемое, учет которого обеспечивает выполнение граничных условий на лицевых поверхностях тонкого тела. В частности, построены корректирующие слагаемые, обеспечивающие выполнение граничных условий на лицевых поверхностях при постановках задач в перемещениях и вращениях, а также задач в тензорах напряжений и моментных напряжений. Кроме того, рассмотрен полу-обратный метод, который использовал В.В. Понятовский, для удовлетворения граничных условий на лицевых поверхностях тонкого тела при применении систем полиномов Лежандра. При этом методе компоненты тензоров напряжений и моментных напряжений, которые не участвуют в граничных условиях на лицевых поверхностях, разлагаются в ряды по данной системе ортогональных полиномов, а остальные компоненты определяются через них из уравнений равновесия таким образом, чтобы они удовлетворяли указанным выше граничным условиям. Этот метод применяется для построения классической теории призматических тонких тел с одним малым размером постоянной толщины в случае классической параметризации области тонкого тела при действии объемных сил и непрерывно распределенных напряжений на лицевых поверхностях. Даны различные представления компонент Pi3 тензора напряжений, которые согласованы с граничными условиями на лицевых поверхностях. Доказано, что такой метод представления компонент тензора напряжений эквивалентен методу разложения всех компонент тензора напряжений в ряды по рассматриваемой системе ортогональных полиномов.При построении теории тонких тел с двумя малыми размерами применяются классическая и новая параметризации области тонкого тела, а также параметризация при произвольной базовой линии, рассматриваемая впервые. Все вопросы, которые были рассмотрены при построении теории тонких тел с одним малым размером, рассматриваются и в этом случае. Поэтому подробно на них останавливаться не будем. Однако следует отметить, что в данном случае применяется разложение по систему ортогональных полиномов, как по одной поперечной координате, так и по двум поперечным координатам. В этой связи даны определения момента (m,n)-го порядка некоторой величины относительно произвольной системы ортогональных полиномов и систем полиномов Лежандра и Чебышева. Рассмотрены некоторые вопросы при методе разложения по одной координате. Даны формулировки постановок связанной и несвязанной динамических задач, а также нестационарной температурной задачи в моментах приближения (r,M,N) при методе разложения по двум координатам и приближения (r,N) при методе разложения по одной координате. Применяя разложения по системе ортогональных полиномов, построена и теория плоских криволинейных тонких областей.Рассмотрена эффективная параметризация многослойной трехмерной тонкой области, заключающаяся в использовании в отличие от классических подходов нескольких базовых поверхностей. Многие соотношения в этом случае получаются из соответствующих формул при новой параметризации, если в них корневые буквы снабжать снизу индексом, обозначаемом номер слоя. Здесь помимо других компонент определены компоненты контакта ЕТВР. Получены различные варианты системы уравнений движения в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева. Выписаны межслойные контактные условия при различных связях соседних слоев многослойного тела. Даны постановки краевых задач. Построена также теориямногослойной плоской криволинейной области на основе нескольких базовых кривых. Получены системы уравнений, ОС, граничные условия физического содержания приближения (0,N) для классического упругого материала, а также кинематические граничные условия и начальные условия приближения N. Выписаны межслойные контактные условия.Выведены необходимые интегральные соотношения для формулировок вариационных принципов. Сформулированы вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно, а также обобщенные вариационные принципы типа Рейсснера в рамках трехмерной микрополярной теории, из которых получены соответствующие вариационные принципы для теории тонких тел. Из последних в свою очередь выведены соответствующие вариационные принципы для теории тонких тел в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева. При этом для микрополярной теории многослойных тонких тел, как при полном контакте, так и при наличии зон ослабленной адгезии, получены обобщенные вариационные принципы типа Рейсснера. Исходя из трехмерных уравнений микрополярного деформируемого твердого тела, получены уравнения микрополярных и расширенных микрополярных теорий оболочек, оболочек класса TS и призматических оболочек в контравариантных компонентах тензоров напряжений и моментных напряжений. Даны постановки задач. Кроме того, приведены уравнения классической моментной теории оболочек и уравнения тонких тел, получаемые с помощью метода классических ортогональных полиномов. Даны сравнения уравнений некоторых теорий. Сформулирована кинематическая гипотеза о жесткости тонких тел в поперечном направлении и построена соответствующая теория тонких тел. Выведены расщепленные системы уравнений статической (квазистатической) задачимикрополярной теории многослойных призматических тел постоянной толщины в перемещениях и вращениях и в моментах векторов перемещений и вращений, из которых, как частный случай, получаются аналогичные системы уравнений классической теории многослойных призматических тел постоянной толщины в перемещениях. Получены расщепленные системы уравнений восьмого приближения микрополярной теории многослойных призматических тел постоянной толщины в моментах векторов перемещений и вращений. Для этой системы аналогично однослойному призматическому телу, используя метод Векуа, можно выписать аналитическое решение. Кроме того, расщепленные уравнения в моментах векторов перемещений и вращений относительно произвольной системы полиномов (Лежандра, Чебышева) получены для микрополярной теории призматических тонких тел с двумя малыми размерами, имеющих поперечное сечение в виде прямоугольника. Аналогичные уравнения получены и для редуцированной среды, содержащие уравнение классической среды.С помощью построенных теорий решены задачи различных приближений о тонком теле с двумя малыми размерами и прямоугольной тонкой плоской области с защемленными краями при различных нагрузках, а также о двухслойной двумерной области с защемленными краями.
- Добавил в систему: Никабадзе Михаил Ушангиевич