|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ЦЭМИ РАН |
||
Некоторые вопросы тензорного исчисления с приложениями к механикекнига
- Автор: Никабадзе М.У.
- Год издания: 2024
- Издательство: Издательский дом МГУ
- Местоположение издательства: Москва
- Объём: 300 страниц
- Тираж: 550 экз.
- Монография
- Исправленное и дополненное переиздание
- Аннотация: Приведены основные определения из линейной алгебры и функционального анализа. В частности, даны определения полугруппы, группы, кольца и поля, а также модуля и линейного пространства. Сформулирована локальная теорема существования гомеоморфизмов. Доказаны основные теоремы и утверждения, касающиеся линейной зависимости и независимости системы тензоров любого ранга. Приведены также определения и доказательства некоторых теорем, относящихся к ортогональной и биортонормальной системам тензоров. Рассмотрены элементарные сведения о многочленах с тензорными коэффициентами и действиях над ними. Сформулирована и доказана обобщенная теорема Безу, на основании которой доказана теорема Гамильтона–Кэли для тензора. Дано и другое доказательство последней теоремы. Доказано несколько важных теорем, при доказательстве которых применяются формулы, выражающие присоединенный тензор () для тензорного двучлена - через тензор модуля 2p(Ω) (элементами этого модуля являются комплексные тензоры ранга 2p) и его инварианты. Здесь — единичный тензор модуля 2p(Ω). Даны определения минимального многочлена тензора модуля 2p(Ω) и тензора модуля p(Ω) (элементами этого модуля являются комплексные тензоры ранга p), а также тензора модуля p(Ω) относительно заданного тензора модуля 2p(Ω). Здесь Ω — некоторая область n-мерного риманова (евклидова) пространства. Сформулированы и доказаны некоторые теоремы, касающиеся минимальных многочленов. Кроме того, сформулированы 1-я, 2-я и 3-я теоремы о расщеплении модуля p(Ω) на инвариантные подмодули. Особое внимание уделено теоремам о сопряженном, нормальном, эрмитовом и унитарном тензорах модулей 2p(Ω) и 2p(Ω) (элементы этого модуля — действительные тензоры ранга 2p). Доказаны теоремы о полярном разложении тензоров модулей 2p(Ω) и 2p(Ω), а также теоремы о существовании общей полной ортонормированной системы собственных тензоров для конечного или бесконечного множества попарно коммутирующих нормальных тензоров модулей 2p(Ω) и 2p(Ω). Даны канонические представления вышеупомянутых тензоров. Рассмотрены различные способы построения линейно независимых изотропных, гиротропных, ортотропных и трансверсально-изотропных тензоров. Сформулированы утверждения и теоремы, позволяющие построить эти тензоры. Построены линейно независимые указанные выше тензоры с первого до шестого ранга включительно, когда компоненты тензора не обладают никакой симметрией и в том случае, когда имеются разные виды симметрии. Сформулированы задачи на собственные значения тензора любого четного ранга и квадратной тензорно-блочной матрицы (ТБМ), состоящей из тензоров одинакового четного ранга. Изучены внутренние структуры тензора модуля 2p(Ω) и ТБМ модуля 42p(Ω). Модуль 42p(Ω) состоит из множества ТБМ, состоящих из четырех тензоров модуля 2p(Ω). Кроме того, введен в рассмотрение тензорный столбец, состоящий из двух тензоров модуля p(Ω). Множество этих тензорных столбцов представляет модуль, обозначаемый через 2p(Ω). Для тензора A модуля 2p(Ω) определены тензор и расширенный тензор миноров любого ранга и порядка, а также соответствующие этим минорам тензор и расширенный тензор кофакторов. С помощью этих тензоров даны формулы, обобщающие теорему Лапласа о разложении определителя тензора A модуля 2p(Ω). Даны соотношения, выражающие классические (входящие в характеристическое уравнение) инварианты тензора модуля 2p(Ω) как через тензоры и расширенные тензоры миноров, так и с помощью тензоров и расширенных тензоров кофакторов этого тензора. Получены также формулы, выражающие классические инварианты тензора A модуля 2p(Ω) через первые инварианты степеней этого тензора. Приведены и обратные к этим формулам соотношения. Приведены определения, утверждения и теоремы, касающиеся ТБМ модуля 42p(Ω). В явном виде построена полная ортонормированная система собственных тензоров симметрического тензора модуля 2p(Ω), а также — полная ортонормированная система собственных тензорных столбцов, являющихся элементами модуля 2p(Ω), симметрической тензорно-блочной матрицы модуля 42p(Ω). Даны некоторые приложения к механике. В частности, даны представления упругой энергии деформации и определяющих соотношений (закона Гука) с помощью введенных тензорных столбцов тензоров напряжений и моментных напряжений и тензоров деформаций и изгибов-кручений и ТБМ модуля 44(Ω). Дано определение положительно определенной ТБМ и показана положительная определенность ТБМ тензоров модулей упругости. Введены понятия собственного значения и собственного тензорного столбца ТБМ и сформулирована и решена задача на собственные значения для ТБМ модуля 44(Ω). Дано каноническое представление ТБМ, на основании которого в свою очередь даны канонические записи удельной энергии деформации и определяющих соотношений. Введено в рассмотрение понятие символа структуры ТБМ и дана классификация микрополярных линейно упругих анизотропных материалов без центра симметрии и с центром симметрии. В явном виде построены полные ортонормированные системы собственных тензорных столбцов соответствующих этим материалам ТБМ. Дана классификация и классических анизотропных материалов. Найдены собственные значения и собственные тензоры для классических материалов кристаллографических сингоний, а также для некоторых микрополярных материалов.
- Добавил в систему: Никабадзе Михаил Ушангиевич